Demostrar que$\tan^6 20°+\tan^6 40°+\tan^6 80°$ es un número entero. No este problema parece un poco fuera de la caja? Parece bonito, pero no tengo una idea de cómo empezar. Cálculo del valor hace darme un entero -$32733$. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia: considere$$x_{n}=a^n+b^n+c^n$ $$$x_{n+3}=(a+b+c)x_{n+2}-(ab+bc+ac)x_{n+1}+abcx_{n}$ $ deje$a=\tan^2{20}=\tan^2{\dfrac{\pi}{9}},b=\tan^2{40}=\tan^2{\dfrac{2\pi}{9}},c=\tan^2{80}=\tan^2{\dfrac{4\pi}{9}}$ y se puede añadir$d=\tan^2{\dfrac{3\pi}{9}}=3$
Es fácil de encontrar$$a+b+c=30,ab+bc+ac=27, abc=3$ $ porque se puede ver aquí la solución completa Bhattacharjee laboratorio para que la inducción; $x_{n}\in \mathbb{N^{+}}$
Joe Gauterin
Puntos
9526
Deje $\theta = 20^\circ = \frac{\pi}{9}$ y deje $\omega_k = \tan(k\theta)$$k = 0,1,\ldots 8$. La suma queremos que se puede reescribir como
$$\tan^6(20^\circ) + \tan^6(40^\circ) + \tan^6(80^\circ) = \omega_1^6 + \omega_2^6 + \omega_4^6$$ Desde $(\cos(k\theta) + i\sin(k \theta))^9 = e^{i9k\theta} = (-1)^k$, el $\omega_k$ son las nueve raíces del polinomio $$ \Im\left[( 1 + i t )^9\right] = t^9-36t^7+126t^5-84t^3+9t t = (t^2-3)(t^6-33t^4+27t^2-3) $$ Aviso de $\omega_0 = 0, \omega_3 = -\omega_6 = \sqrt{3}$, el factor de $t(t^2 - 3) = (t - \omega_0)(t - \omega_3)(t - \omega_6)$.
Junto con las identidades $\omega_1 = -\omega_8$, $\omega_2 = -\omega_7$, $\omega_4 = -\omega_5$, nos encontramos
$$(x - \omega_1^2)(x - \omega_2^2)(x - \omega_4^2) = x^3 - 33x^2 + 27 x - 3$$
Deje $p_n = \omega_1^{2n} + \omega_2^{2n} + \omega_3^{2n}$$n \in \mathbb{Z}_{+}$. Aplicar Newton identidades anteriormente cúbicos polinomio, tenemos
$$ \begin{cases} p_1 - 33 = 0\\ p_2 - 33 p_1 + 2\times 27 = 0\\ p_3 - 33 p_2 + 27 p_1 - 3\times 3 = 0 \end{casos} \implica \begin{cases} p_1 = 33\\ p_2 = 33 \times 33 - 2\times 27 = 1035\\ p_3 = 33 \times 1035 - 27 \times 33 + 3\times 3 = 33273 \end{casos} $$ Como resultado, $$\tan^6(20^\circ) + \tan^6(40^\circ) + \tan^6(80^\circ) = \omega_1^6 + \omega_2^6 + \omega_4^6 = p_3 = 33273$$
