Encuentra$ n\geq1 $ de tal manera que divide 7$n^n-3$

Question

Encontrar $ n\geq1 $ tales que 7 divide $n^n-3$.

Aquí es lo que he encontrado:

$ n\equiv 0 \mod7, n^n\equiv 0 \mod7,n^n-3\equiv -3 \mod7$ ninguna solución.

$ n\equiv 1 \mod7, n^n\equiv 1 \mod7,n^n-3\equiv -2 \mod7 $ ninguna solución.

$ n\equiv 2 \mod7, n^n\equiv 2^n \mod7, n^n-3\equiv 2^n-3 \mod7$. Es $2^n\equiv 3 \mod7 $ posible?

$ n=7k+2,..., 2^{7k+2}\equiv 2^{k+2} \mod7$. Es $2^{k+2}\equiv 3 \mod7$ posible?

El estudio de $k$ modulo 6: $2^{6q+2}\equiv 4 \mod7, 2^{6q+3}\equiv 1 \mod7, 2^{6q+4}\equiv 2 \mod7, 2^{6q+5}\equiv 4 \mod7, 2^{6q+6}\equiv 1 \mod7, 2^{6q+7}\equiv 2 \mod7 $

La congruencia nunca es 3, así que no hay ninguna solución para $n\equiv 2 \mod7$.

$ n\equiv -2 \mod7,..., n=42q+5 $

$ n\equiv-1 \mod7, n^n-3\equiv (-1)^n-3 \mod7 $: no hay solución.

$ n\equiv 3 \mod7, n^n-3 \equiv 3^n-3 \mod7$. Es $3^n\equiv 3 \mod 7$ posible?

$n=7k+3,..., 3^{7k+3}\equiv -3^k \mod7 $. Es $3^k \equiv 4 \mod 7 $ posible?

El estudio de $k$ modulo 6:

$ 3^{6q} \equiv 1 \mod7, 3^{6q+1} \equiv 3 \mod7, 3^{6q+2} \equiv 2 \mod7, 3^{6q+3} \equiv -1 \mod7, 3^{6q+4} \equiv 4 \mod7 , 3^{6q+5} \equiv -2 \mod7 $ Por lo $ n=7k+3=7(6q+4)+3=42q+31 $ es una solución.

$ n\equiv -3 \mod7 $,..., no es la solución.

$42q+31 \equiv 3 \mod 7, (42q+31)^{42q+31} \equiv 3^{42q+31} \mod 7 \equiv 3 \mod7$ OK

$ 42q+5 \equiv 4 \mod7, (42q+5)^{42q+5} \equiv 5^{42q+5} \mod 7 \equiv 3 \mod7$ OK

Así que 7 divide $ n^n-3 $ si y sólo si $ n\equiv 31 \mod 42$ o $ n\equiv 5 \mod 42$

Answer 1

$n^n - 3$ es divisible por $7$ si y sólo si $n \equiv 5\mod 42$ o $n \equiv 31 \mod 42$.

Si $n \equiv 5 \mod 42$,$n \equiv 5 \mod 7$. Por lo tanto $n^n \equiv 5^n \equiv 5^{n-5} \cdot 5^5 \equiv 5^5 \equiv 3 \mod 7$, debido a $n-5$ es divisible por $6$.

Si $n \equiv 31 \mod 42$,$n \equiv 31 \equiv 3 \mod 7$. Como antes, $n^n \equiv 3^n \equiv 3^{n-31} \cdot 3^{31} \equiv 3^{31} \equiv 3 \mod 7$.

Por el contrario, supongamos que $n^n \equiv 3 \mod 7$. Está claro que $n \not\equiv 0 \mod 7$$n \not\equiv 1 \mod 7$. Posibles poderes de $2$ $4$ modulo $7$ $1$, $2$ y $4$, lo $n \not\equiv 2 \mod 7$$n \not\equiv 4 \mod 7$. Del mismo modo los posibles poderes de $6$ modulo $7$$1$$6$, lo $n \not\equiv 6 \mod 7$.

Por lo tanto, hay dos posibilidades: $n \equiv 3 \mod 7$ o $n \equiv 5 \mod 7$.

Si $n \equiv 3 \mod 7$,$n^n \equiv 3^n \mod 7$$3^n \equiv 3 \mod 7$. Por lo tanto $3^{n-1} \equiv 1 \mod 7$, y por lo $6$ divide $n-1$. Por lo tanto $n \equiv 1 \mod 6$. A continuación,$7n \equiv 7 \mod 42$$6n \equiv 18 \mod 42$, y por lo $n \equiv 31 \mod 42$.

Si $n \equiv 5 \mod 7$,$n^n \equiv 5^n \mod 7$$5^n \equiv 3 \equiv 5^5 \mod 7$. Por lo tanto $5^{n-5} \equiv 1 \mod 7$, e $6$ divide $n-5$. Con el mismo argumento que antes, $n \equiv 5 \mod 42$.

Answer 2

5 $$ ^ 5-3 = 2 \ cdot 7 \ cdot 233 $$ Otras soluciones son$$n=31, 47, 73, 89, 115, 131, 157, 173, 199, 215, 241, 257, 283, 299, 325$ $ Todos ellos son impares y congruente a$3$ o$5$ módulo$7$.

Answer 3

Dado que la cuestión sólo pide (al menos la forma en que lo leí) para encontrar algún% $n\geq 1$tal que$n^n-3\equiv 0 \bmod 7$, se puede explotar el hecho de que una potencia$a^b \bmod 7$ solo depende de la clase de$a\bmod 7$ y la clase de$b\bmod 6$.

Por lo tanto, si usted escoge$n\equiv 3 \bmod 7$% tal que $n\equiv 1 \bmod 6$, a continuación:$$n^n\equiv 3^n \equiv 3^{1+6k} \equiv 3\cdot (3^6)^k \equiv 3 \bmod 7,$ $ si lo deseas. Por lo tanto, por el teorema chino del resto, cualquier$n\equiv 31 \bmod 42$ funcionará.

Por ejemplo,$$3^{31}-3 = 617673396283944=2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 11^2\cdot 13\cdot 31\cdot 61 \cdot 271\cdot 4561.$ $