Es posible que una función de a en $L^p$ por sólo una $p$?

Question

Me pregunto si es posible que una función sea una $L^p$ espacio para un único valor de $p \in [1,\infty)$ (en un almacén de dominio o una desenfrenada de dominio).

Uno puede utilizar la interpolación para demostrar que si una función es en dos $L^p$ espacios (por ejemplo,$p_1$$p_2$, $p_1 \leq p_2$ entonces es en todos los $p_1\leq p \leq p_2$).

Por otra parte, si estamos en un dominio acotado, también tenemos la relativamente estándar resultado que si $f \in L^{p_1}$ algunos $p_1 \in [1,\infty)$, entonces es en $L^p$ por cada $p\leq p_1$ (que puede ser mostrado usando Hölder de la desigualdad).

Por lo tanto, creo que la pregunta puede ser reducido a dominios no acotados si tenemos en cuenta la pregunta para cualquier $p>1$.

Intuitivamente, una función en un ilimitado dominio está dentro de una $L^p$ espacio si es disminuir la suficiente rapidez hacia el infinito. Esto hace que parezca que podría ser capaz de multiplicar la función por una un poco más grande exponente. Al mismo tiempo, hacer esto puede provocar que la función de volar cerca de cero. Que no precisa/riguroso a todos aunque.

Por eso me pregunto si es posible construir un ejemplo o demostrar que esto no puede ser verdad.

Answer 1

Robert y joriki ejemplos son, por supuesto, agradable y explícitos, pero se puede obtener ejemplos sobre cualquier subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ con medida infinita. He aquí cómo:

Tomar una función $f$$L^p$, pero no en $L^q$ $q \gt p$ (en la unidad de la bola de $B$ alrededor de cero, por ejemplo). Ahora tomar una secuencia $x = (x_n)$$\ell^p$, pero no en $\ell^q$ $q \lt p$ (hay estándar de ejemplos tanto de estas cosas). Ahora tome bolas disjuntas $B_n$ del volumen de las $1$ (disjunta de a $B$) y considerar la posibilidad de $g = f + \sum x_n \cdot [B_n]$ donde $[B_n]$ denota la función característica de a $B_n$. Obviamente, $\|g\|_{q}^q = \|f\|_{q}^q + \|x\|_{q}^{q}$ $L^q$ si y sólo si $q = p$. Si $q \lt p$ $\|x\|_q = \infty$ e si $q \gt p$$\|f\|_{q}^q = \infty$.

Se los dejo a ustedes para hacer explícito y modificarlo cuando su dominio no es todo de $\mathbb{R}^n$.

Answer 2

Intente $$f(x) = \frac{1}{x^{1/p} (\ln(x)^2+1)} \qquad \text{on} \qquad (0, \infty)$$

Answer 3

Desde $1/x$ es el caso de la frontera en ambas direcciones, el candidato más prometedor sería una versión modificada de $1/x$ que sólo converge, pero no convergen si usted empujar ligeramente. Tenemos

$$\int_2^\infty \frac1{x\log^2x}\mathrm dx=\left[-\frac1{\log x}\right]_2^\infty=\frac1{\log2}\;,$$

mientras que

$$\int_2^\infty \left(\frac1{x\log^2x}\right)^p\mathrm dx$$

con $p<1$ diverge. Si nos puntada esta función junto con su inversa para obtener la convergencia en $0$, se obtiene una integral

$$\int_2^\infty \frac1{x^{1/p}\log^2(x^{1/p})}\mathrm dx=\frac1{p^2}\int_2^\infty \frac1{x^{1/p}\log^2x}\mathrm dx\;,$$

que de nuevo se bifurca para $p>1$, por lo que sólo hay convergencia en ambos lados si $p=1$.

Answer 4

Considere la posibilidad de una real monomio: $x^\alpha$

Ahora postes de dar una restricción de la forma $\alpha>\alpha_0$
mientras que las tasas de descomposición de dar una restricción de la forma $\alpha<\alpha_0$.

Esto puede ser usado para pegamento que desee ejemplo, por ejemplo, si $$f(x):=x^{\alpha_0}\chi_{[-1,1]}+x^{\alpha_\infty}\chi_{(-\infty,-1)\cup(1,\infty)}$$ a continuación, la integrabilidad se limita a $$-\frac{1}{\alpha_0}<p<-\frac{1}{\alpha_\infty}$$

Desafortunadamente, esta técnica sólo se restringe a un barrio como $p=7\pm\varepsilon$.