incrustado en la superficie$\mathbb{R}^3$

Question

Deje$U \subseteq \mathbb{R}^2$ sea un conjunto abierto y deja$\sigma : U \rightarrow \mathbb{R}^3$ sea una parametrización de una superficie orientada$S$ incrustado en$\mathbb{R}^3$ cuya unidad normal$\sigma (u,v)$ es$N(u,v)$. $\forall \delta \in \mathbb{R}$ Definimos el mapa$\tau_\delta : U \rightarrow \mathbb{R}^3$ como

$\tau_\delta (u,v) := \sigma (u,v)+ \delta N(u,v)$

Demostrar que, si$V \subseteq U$ es un conjunto abierto con cierre compacto en$U$, existen$\epsilon > 0$ tal que$\tau_\delta|_V$ es la parametrización de un habitual superficie incrustado$\forall \delta \in (-\epsilon , \epsilon)$ .

¿Cómo puedo abordar este tipo de problemas?

Answer 1

Considerar el mapa de $F(u,v,t)=\sigma (u,v)+t N(u,v)$. Si $\sigma $ $C^2$ liso, a continuación,$N$, y, en consecuencia, $F$ $C^1$ liso. Yo reclamo que la matriz Jacobiana $DF$ es invertible en cada punto de $t=0$. De hecho, en un punto de $F_u$ $F_v$ son linealmente independiente de vectores tangente, mientras que $F_t=N(u,v)$, un vector normal. Estos tres son linealmente independientes, lo que demuestra la demanda.

Utilizar el teorema de la función inversa para cubrir la superficie con 3D bolas $B_i$ que $F$ es un diffeomorphism. Elija un número finito de subcover de $\overline{V}$. Por el número de Lebesgue lema existe $\delta>0$ de manera tal que cada subconjunto de $\overline{V}$ con diámetro de $\le 2\delta$ es en algunas de las $B_i$. La superficie de la $\sigma_\delta$ no tiene auto-intersecciones: si $\sigma (u,v)+\delta N(u,v)=\sigma (u',v')+\delta N(u',v')$, $\sigma (u,v)$ $\sigma (u',v')$ son a distancia en la mayoría de las $2\delta$ unos de otros, contradiciendo la elección de $\delta$. Este e $F$ ser un diffeomorphism implica que $\sigma_\delta$ es regular.

Answer 2

Vamos a ver si funciona...

Deje $N_S(\eta)$ ser un tubular barrio de $S$ (donde $\eta:S\rightarrow(0,+\infty)$ es una función continua) y deje $N_{\sigma(\overline V)}(\eta)$ ser la restricción de esta tubular barrio para el conjunto de $\sigma(\overline V)$ (observar que $\overline {N_{\sigma(\overline V)}(\eta)}$ es un conjunto compacto).

Supongamos por contradicción que $\forall\epsilon>0$ existe $\delta\in(-\epsilon,\epsilon)$ tal que $\tau_\delta(V)$ tiene un punto singular. Elegimos $n\in\mathbb{Z}_+$ y establezca $\epsilon=\frac{1}{n}$, entonces no es $\delta_n$ $|\delta_n|<\frac{1}{n}$ tal que $\tau_{\delta_n}(V)$ tiene un punto singular, vamos a llamar a $p_n$.

Ahora la secuencia de $\{p_n\}_{n\in\mathbb{Z}_+}$ es, definitivamente, la contenida en el conjunto compacto $\overline {N_{\sigma(\overline V)}(\eta)}$, por lo que hay una larga $\{p_{n_k}\}$ que converge en $\overline {N_{\sigma(\overline V)}(\eta)}$ a un cierto punto de $\overline p$; también se $\overline p\in\sigma(\overline V)\subseteq\sigma(U)$.

Deje $A\subseteq\sigma(U)$ ser cualquier barrio de $\overline p$, vamos a $a$ ser un punto de $A$ y deje $I_S(a,\eta(a))$ ser el segmento de $a+(-\eta(a),\eta(a))N(a)$ de duración $2\eta(a)$ centrada en $a$ y la normal a $T_PS$. A continuación, en $A$ hay al menos dos puntos de $x,y$ tal que $I_S(x,\eta(x))\cap I_S(y,\eta(y))\neq\emptyset$, contradiciendo el hecho de que $N_S(\eta)$ es un tubular barrio de $S$.

¿Crees que es correcto?