Un grupo finito de orden par tiene un número impar de elementos de orden 2

Question

Necesito ayuda con esto, estoy un poco atascado:

Demuestre que si $G$ es un grupo finito de orden par, entonces $G$ tiene un número impar de elementos de orden $2$ . Tenga en cuenta que $e$ es el único elemento de orden $1$ .

Answer 1

Dejemos que $A$ sea el conjunto de todos los elementos de orden mayor que $2$ y recuerda que $x$ y $x^{-1}$ tienen el mismo orden. Así que convéncete $$ A=\bigcup_{x\in A}\{x,x^{-1}\}. $$

Concluir que $|A|$ está en paz. Ahora bien, ¿por qué eso implica que hay un número impar de elementos de orden $2$ ?

Answer 2

Ahora, en el grupo, el elemento de identidad tiene un orden uno, por lo que nos quedamos con un número impar de elementos, también para cada elemento del grupo tiene un único inverso, por lo que sólo el número par de elementos será cubierto por los elementos que tienen diferentes inversos de sí mismos, y sabemos que impar menos par es impar, por lo que nos quedamos con un número impar de elementos que son los inversos de sí mismos, es decir, que tienen un orden dos.