Si el$81$ número dígitos$111\cdots 1$ está dividido por$729$, el resto es?

Question

Si el$81$ número dígitos$111\cdots 1$ está dividido por$729$, el resto es?

$729=9^3$

Para cualquier número que sea divisible por$9$, la suma de los dígitos tiene que ser divisible por$9$. El número dado es divisible por$9$.

Luego he intentado dividir el número dado por$9$. El cociente era como$123456789012\cdots$

Así que la suma cocientes es$(45\times 8)+1=361$

¿Es esta la manera de proceder? ¿Hay un camino más corto?

Answer 1

Estamos buscando

$ x = 10^{80} + 10^{79} + \dots + 10^2 + 10 + 1 \mod{9^3}$

$ 10^k = (9 + 1)^k = \sum\limits_{i=0}^{k}{k \choose i}9^i $ (Teorema binomial)

Teniendo en cuenta la segunda igualdad$\mod{9^3} $, sólo tenemos tres primeros sumandos de la suma. Asi que $ 10^k \equiv 1 + k\cdot 9 + \frac{k\cdot(k-1)}{2}\cdot 9^2\mod{9^3}$. Así que lo que estamos buscando es

ps

Uso de fórmulas$$ x\mod{9^3} \equiv\sum\limits_{k=0}^{80}1 + 9k + 81\frac{k\cdot(k-1)}{2} \mod{9^3} = \sum\limits_{k = 0}^{80}1 - \frac{63}{2}k + \frac{81}{2}k^2$ obtenemos que

ps

ps

Observe el término entre paréntesis es divisible por$ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \sum\limits_{k=0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $, por lo tanto, la respuesta es$$ x \mod{9^3} = 81 + \frac{-63}{2}\cdot80\cdot81\cdot\frac{1}{2} + \frac{81}{2}\cdot80\cdot81\cdot161\cdot\frac{1}{6} \mod{9^3}$.

No estoy seguro de que es la mejor manera de abordar esto. Por favor, corríjanme si alguno de los cálculos estaban equivocados

Answer 2

Según Wolfy, o por el uso repetido de $ x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 x 1) $, $ \ frac {x ^ {81} -1} {x-1} = (x ^ 2 x 1) (x ^ 6 x ^ 3 1) (x ^ {18} x ^ 9 1) (x ^ {54} x ^ {27} 1) $.

Desde$x^{3n} \equiv 1 \bmod (x^3-1)$, $ x ^ {6N} x ^ {3n} 1 \ equiv 3 \ BMOD (x ^ 3-1) $.

Por lo tanto, los factores de la derecha 3 son todos $ \ equiv 3 \ BMOD (x ^ 3-1) $.

Por tanto, el producto entero $ \ equiv 27 (x ^ 2 x 1) \ BMOD (x ^ 3-1) $.

Ya que

$ \begin{array}\\ x^2+x+1 &=((x-1)+1)^2+(x-1)+2\\ &=(x-1)^2+2(x-1)+1+(x-1)+2\\ &=(x-1)^2+3(x-1)+3\\ \end {Array} $

tenemos

$ \begin{array}\\ 27(x^2+x+1) &=27((x-1)^2+3(x-1)+3)\\ &=27(x-1)^2+81(x-1)+81\\ &\equiv 81 \bmod 729 \qquad\text{setting }x=10 \text{ since }27\cdot 9^2, 81\cdot 9 \equiv 0 \bmod 729\\ \end {Array} $

Por lo tanto la respuesta es$81$.

Answer 3

Queremos calcular$\frac{10^{81}-1}{9} \mod 9^3$. No podemos dividir por 9, pero podemos calcular$10^{81}-1 \mod 9^4$ y luego dividir el resultado por 9. Podemos calcular esto con una simple calculadora: $$ 10 ^ {81} -1 = (10 ^ 9) 9 ^ -1 = 5185 ^ 9-1 = 5185 (5185 ^ 2) ^ 4-1 = \ cdots = 729 $$ El resultado es, pues,$729/9 = 81$.

Answer 4

Ponga$$a=10^9=729\cdot1371742+82\equiv 1+9^2\ (mod\space 9^3)$ $$$N=111111111=729\cdot 152415+576\equiv 576 \ (mod\space 9^3)$ $ Let$M$ sea el número de modo$$M=N(a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)$ $ Además$$a\equiv 1+9^2\ (mod\space 9^3)$ $ $ $a^2\equiv 1+2\cdot9^2\ (mod\space 9^3)$$ $ $a^3\equiv 1+3\cdot9^2\ (mod\space 9^3)$ $ $ $......$ $ $ $a^8\equiv 1+8\cdot9^2\ (mod\space 9^3)$ $ De ello se deduce$$M\equiv N(9+9^2\cdot 9\cdot 4)\equiv 576\cdot 9\equiv \color{red} {81}\ (mod\space 9^3)$$ because $ 576 \ cdot 9 = 5184 = 7 \ cdot 729 81 $