Introducción a los tensores

Question

Como estudiante de física, me he encontrado con objetos matemáticos llamados tensores en varios contextos diferentes. Tal vez por confusión, también me han dado tanto la definición del matemático como la del físico, que creo que son ligeramente diferentes.

Actualmente pienso en ellos de las siguientes maneras, pero me resulta difícil conciliar los diferentes puntos de vista:

• Una extensión/abstracción de escalares, vectores y matrices en matemáticas.
• Una matriz multidimensional de elementos.
• Un mapeo entre espacios vectoriales que representa una transformación independiente de las coordenadas.

De hecho, ni siquiera estoy seguro de que estas tres definiciones sean correctas. ¿Hay alguna definición especialmente relevante (rigurosa, incluso) de los tensores y sus usos, que pueda ser adecuada para un físico matemático?

Se agradecerían mucho las respuestas/explicaciones directas, así como los enlaces a buenos artículos introductorios.

Answer 1

Al menos para mí, es útil pensar en términos de bases. (Aquí sólo hablaré de productos tensoriales de espacios vectoriales de dimensión finita. vectorial finito). Esto hace que la propiedad de mapeo universal de la que habla Zach Conn un poco menos abstracta (de hecho, casi trivial).

En primer lugar, recuerde que si $L: V \to U$ es un mapa lineal, entonces $L$ está completamente determinado por lo que hace a una base $\{ e_i \}$ para $V$ : $$L(x)=L\left( \sum_i x_i e_i \right) = \sum_i x_i L(e_i).$$ (Los coeficientes de $L(e_i)$ en una base para $U$ dar el $i$ columna en la matriz para $L$ con respecto a las bases dadas).

Los tensores entran en escena cuando se estudia multilineal mapas. Si $B: V \times W \to U$ es un mapa bilineal, entonces $B$ está completamente determinada por los valores $B(e_i,f_j)$ donde $\{ e_i \}$ es una base para $V$ y $\{ f_j \}$ es una base para $W$ : $$B(x,y) = B\left( \sum_i x_i e_i,\sum_j y_j f_j \right) = \sum_i \sum_j x_i y_j B(e_i,f_j).$$ Para simplificar, consideremos el caso particular cuando $U=\mathbf{R}$ ; entonces los valores $B(e_i,f_j)$ componen un conjunto de $N=mn$ números reales (donde $m$ y $n$ son los dimensiones de $V$ y $W$ ), y estos números son todo lo que necesitamos para mantener para saber todo sobre el mapa bilineal $B:V \times W \to \mathbf{R}$ .

Obsérvese que para calcular $B(x,y)$ realmente no necesitamos saber el vectores individuales $x$ y $y$ sino el $N=mn$ números $\{ x_i y_j \}$ . Otro par de vectores $v$ y $w$ con $v_i w_j = x_i y_j$ para todos $i$ y $j$ satisfará $B(v,w)=B(x,y)$ .

Esto lleva a la idea de dividir el cálculo de $B(x,y)$ en dos etapas. Tomar una $N$ -espacio vectorial de dimensiones $T$ (todos son isomorfos, así que no importa cuál tomemos) con una base $(g_1,\dots,g_N)$ . Dado $x=\sum x_i e_i$ y $y=\sum y_j f_j$ , forman primero el vector en $T$ cuyas coordenadas con respecto a la base $\{ g_k \}$ vienen dados por el vector columna $$(x_1 y_1,\dots,x_1 y_m,x_2 y_1,\dots,x_2 y_m,\dots,x_n y_1,\dots,x_n y_m)^T.$$ A continuación, pase este vector por el lineal mapa $\tilde{B}:T\to\mathbf{R}$ cuya matriz es el vector de filas $$(B_{11},\dots,B_{1m},B_{21},\dots,B_{2m},\dots,B_{n1},\dots,B_{nm}),$$ donde $B_{ij}=B(e_i,f_j)$ . Esto da, por construcción, $\sum\sum B_{ij} x_i y_j=B(x,y)$ .

Llamaremos al espacio $T$ el producto tensorial de los espacios vectoriales $V$ y $W$ y denotarlo por $T=V \otimes W$ ; está "definida de forma única hasta el isomorfismo", y sus elementos se llaman tensores . El vector en $T$ que formamos de $x\in V$ y $y\in W$ en la primera etapa anterior se denominará $x \otimes y$ ; es una "mezcla bilineal" de $x$ y $y$ que no nos permite reconstruir $x$ y $y$ individualmente, pero aún así contiene exactamente toda la información necesaria para calcular $B(x,y)$ para cualquier mapa bilineal $B$ ; tenemos $B(x,y)=\tilde{B}(x \otimes y)$ . Esta es la "propiedad universal"; cualquier mapa bilineal $B$ de $V \times W$ puede calcularse tomando un "desvío" a través de $T$ y este desvío es único, ya que el mapa $\tilde{B}$ se construye de forma única a partir de los valores $B(e_i,f_j)$ .

Para ordenar esto, uno quisiera asegurarse de que la definición es independiente de la base. Una forma es comprobar que todo se transforma correctamente bajo cambios de bases. Otra forma es hacer la construcción formando un espacio mucho más grande y tomando un cociente con respecto a relaciones adecuadas (sin mencionar nunca las bases). Entonces, desenredando las definiciones, se puede, por ejemplo mostrar que un mapa bilineal $B:V \times W \to \mathbf{R}$ puede ser identificarse canónicamente con un elemento del espacio $V^* \otimes W^*$ , y a la vez un elemento de $V \otimes W$ puede identificarse con un mapa bilineal $V^* \times W^* \to \mathbf{R}$ . Sin embargo, otros autores consideran que esto es una empezando por punto, de modo que en su lugar definir $V \otimes W$ para ser el espacio de los mapas bilineales $V^* \times W^* \to \mathbf{R}$ . Así que no es de extrañar que uno pueda confundirse un poco al intentar comparar diferentes definiciones...

Answer 2

En matemáticas, los tensores son uno de los primeros objetos que se encuentran y que no pueden entenderse completamente sin la propiedad de mapeo universal que los acompaña.

Antes de hablar de los tensores, hay que hablar del producto tensorial de los espacios vectoriales. Probablemente ya estés familiarizado con la suma directa de espacios vectoriales. Se trata de una operación de adición de espacios. El producto tensorial es una operación de multiplicación de espacios vectoriales.

La característica principal del producto tensorial es que sustituye a mapas bilineales en un producto cartesiano de espacios vectoriales con mapas lineales en el producto tensorial de los dos espacios. En esencia, si $V,W$ son espacios vectoriales, existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de mapas bilineales sobre $V\times W$ (a cualquier espacio de destino) y el conjunto de lineal mapas en $V\otimes W$ (el producto tensorial de $V$ y $W$ ).

Esto puede expresarse en términos de una propiedad de mapeo universal. Dados los espacios vectoriales $V,W$ un producto tensorial $V\otimes W$ de $V$ y $W$ es un espacio junto con un mapa $\otimes : V\times W \rightarrow V\otimes W$ tal que para cualquier espacio vectorial $X$ y cualquier bilineal mapa $f : V\times W \rightarrow X$ existe un único lineal mapa $\tilde{f} : V\otimes W \rightarrow X$ tal que $f = \tilde{f}\circ \otimes$ . En otras palabras, todo mapa bilineal sobre el producto cartesiano es un factor único a través del producto tensorial.

Se puede demostrar mediante un argumento básico que el producto tensorial es único hasta el isomorfismo, por lo que se puede hablar de "el" producto tensorial de dos espacios en lugar de "un" producto tensorial, como hice en el párrafo anterior.

Un tensor es sólo un elemento de un producto tensorial.

Hay que demostrar que dicho producto tensorial existe . La construcción estándar consiste en tomar el espacio vectorial libre sobre $V\times W$ e introducir varias relaciones de bilinealidad. Véase mi enlace en la parte inferior para un artículo que hace esto explícitamente. En mi experiencia, sin embargo, la clave es ser capaz de utilizar la propiedad de mapeo anterior; la construcción particular no importa mucho a largo plazo. El mapa $\otimes : V\times W \rightarrow V\otimes W$ envía el par $(v,w) \in V\times W$ à $v\otimes w \in V\otimes W$ . La imagen de $\otimes$ es el espacio de los llamados tensores elementales, pero un elemento general de $V\otimes W$ es no un tensor elemental, sino una combinación lineal de tensores elementales. (De hecho, debido a la bilinealidad, basta con decir que un tensor general es una suma de tensores elementales cuyos coeficientes son todos 1).

La razón más genérica por la que los tensores son útiles es que el producto tensorial es una máquina para sustituir mapas bilineales por lineales. En gran parte de las matemáticas y la física, se busca encontrar aproximaciones lineales a las cosas; los tensores pueden verse como una herramienta para esto, aunque exactamente cómo lo logran es menos claro que muchas otras herramientas en la misma línea. He aquí algunas razones más específicas por las que son útiles.

Para los espacios de dimensión finita $V,W$ el producto tensorial $V^*\otimes W$ es isomorfo al espacio de homomorfismos $\text{Hom}(V,W)$ . En otras palabras, todo mapa lineal $V \rightarrow W$ tiene una expansión tensorial, es decir, una representación como tensor en $V^* \otimes W$ . Por ejemplo, si $\{v_i\}$ es una base de $V$ y $\{x_i\}$ es la base dual de $V^*$ entonces $\sum x_i \otimes v_i \in V^* \otimes V$ es una representación tensorial del mapa de identidad en $V$ .

Los productos tensores suelen aparecer en muchos lugares inesperados. Por ejemplo, al analizar las representaciones lineales de un grupo finito, una vez que se conocen las representaciones irreducibles puede ser beneficioso construir también una "tabla de productos tensoriales" que descomponga los productos tensoriales de todos los pares de representaciones irreducibles como sumas directas de representaciones irreducibles.

En física, a menudo se habla de un rango $n$ tensor es un conjunto de números que se transforman de una manera determinada al cambiar las coordenadas. Lo que realmente se está describiendo aquí son todas las diferentes representaciones de coordenadas de un tensor abstracto en una potencia tensorial $V^{\otimes n}$ .

Si se toma la suma directa de todas las potencias tensoriales de un espacio vectorial $V$ se obtiene el álgebra tensorial sobre $V$ . En otras palabras, el álgebra tensorial es la construcción $k\oplus V\oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \dots$ , donde $k$ es el campo base. El álgebra tensorial es naturalmente graduada, y admite varias álgebras cocientes extremadamente útiles, incluyendo la conocida álgebra exterior de $V$ . El álgebra exterior proporciona la maquinaria natural para las formas diferenciales en la geometría diferencial.

He aquí un ejemplo del álgebra exterior en la práctica. Supongamos que se desea clasificar todas las álgebras de Lie bidimensionales no abelianas $\mathfrak{g}$ . El soporte de Lie $[\cdot,\cdot]$ es antisimétrico y bilineal, por lo que la maquinaria de los productos tensoriales lo convierte en un lineal mapa $\bigwedge^2 V \rightarrow V$ , donde $V$ es el espacio vectorial subyacente del álgebra. Ahora $\bigwedge^2 V$ es unidimensional y como el álgebra es no abeliana, el corchete de Lie no es cero en todas partes; por lo tanto, como mapa lineal, el corchete de Lie tiene una imagen unidimensional. Entonces se puede elegir una base $\{X,Y\}$ de $V$ tal que $[X,Y] = X$ y concluimos que existe esencialmente una sola estructura de álgebra de Lie no abeliana en un espacio vectorial bidimensional.

Una fantástica referencia sobre los productos tensoriales de los módulos fue escrita por Keith Conrad: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf

Answer 3

Una vez que entienda lo que es un producto tensorial es y lo que es un espacio dual es, entonces un tensor de tipo $(n, m)$ es un elemento de $V^{\ast \otimes m} \otimes V^{\otimes n}$ donde $V$ es un espacio vectorial. Esto es lo mismo que un mapa multilineal $V^m \to V^{\otimes n}$ o, si no te gusta la asimetría, un mapa multilineal $V^{\ast n} \times V^{m} \to F$ (donde $F$ es el campo subyacente). Ejemplos:

• Un tensor de tipo $(0, 0)$ es un escalar.
• Un tensor de tipo $(1, 0)$ es un vector.
• Un tensor de tipo $(0, 1)$ es un covector.
• Un tensor de tipo $(1, 1)$ es una transformación lineal.
• Un tensor de tipo $(0, 2)$ es una forma bilineal, por ejemplo un producto interno.

Cuando se elige una base de $V$ se pueden escribir los tensores en términos de la base natural en $V^{\ast \otimes n} \otimes V^{\otimes m}$ procedentes de la toma de productos de la base en $V$ con la correspondiente base dual en $V^{\ast}$ . De aquí viene la definición de "matriz multidimensional" de un tensor, ya que es la generalización natural de escribir una matriz como una matriz cuadrada (lo que equivale a escribir un elemento de $V^{\ast} \otimes V$ en términos de la base $e_i^{\ast} \otimes e_j$ donde $\{ e_i \}$ es una base).

Cuando un físico dice "tensor", a veces se refiere a un campo tensorial . Se trata de una "globalización" de la definición anterior: es un conjunto compatible de elecciones, para cada espacio tangente $V = T_p(M)$ de un colector liso $M$ de un tensor de tipo $(n, m)$ como se ha definido anteriormente. Obsérvese que $V^{\ast}$ es el espacio cotangente. Ejemplos:

• Un campo tensorial de tipo $(0, 0)$ es una función suave.
• Un campo tensorial de tipo $(1, 0)$ es un campo vectorial.
• Un campo tensorial de tipo $(0, 1)$ es un diferencial $1$ -forma.
• Un campo tensorial de tipo $(1, 1)$ es un morfismo de campos vectoriales.
• Un campo tensorial de tipo $(0, 2)$ que es simétrica y no degenerada es una tensor métrico . Si también es positivo-definido, es un Métrica riemanniana . Si tiene firma $(1, n-1)$ Es una Métrica lorentziana .

Answer 4

Los matemáticos y los físicos utilizan lenguajes muy diferentes cuando hablan de tensores. Afortunadamente, están hablando de lo mismo, pero desgraciadamente, esto no es nada obvio. Me explico.

Para simplificar, voy a centrarme en 2-tensores covariantes ya que este caso ya contiene la intuición principal. Además, no voy a hablar de la distinción entre covariante y contravariante, pero voy a poner todos los índices bien para el estudio futuro.

Definición del físico

Definición: Un tensor 2 covariante es un conjunto de números $t_{ij}$ con dos índices que se transforma de una manera particular bajo un cambio de coordenadas Espera, espera, coordenadas en qué espacio ? Los físicos no suelen mencionarlo, pero se refieren a las coordenadas en un espacio vectorial $V$ .

Más concretamente, dejemos que $\{\vec e_i\}$ sea una base del espacio vectorial $V$ . Entonces, cada vector $\vec v$ puede expresarse en términos de su coordenadas $v^i$ de la siguiente manera:

$$\vec v = \sum_i v^i \vec e_i .$$

Así, hay dos objetos: el vector $\vec v$ que considero "sólido" o "fundamental", y sus coordenadas $v^i$ que son "efímeras", ya que tengo que elegir una base $\vec e_i$ antes de poder hablar de ellos.

Además, en un base diferente $\{\vec e'_i\}$ de nuestro espacio vectorial, las coordenadas de un mismo vector $\vec v$ son números muy diferentes.

$$ \vec v = \sum_i v^i \vec e_i = \sum_i v'^i \vec e'_i .$$

pero $v^i != v'^i$ . Así, el vector es lo fundamental. Sus coordenadas son útiles para los cálculos, pero son efímeras y dependen en gran medida de la elección de la base.

Ahora, al definir un 2-tensor covariante Los físicos hacen algo muy misterioso: definen un objeto fundamental (= el 2-tensor) no describiéndolo directamente, sino sólo especificando cómo son sus coordenadas efímeras y cómo cambian al cambiar de base. A saber, un cambio de base

$$ \vec e'_i = \sum_j R_i^a \vec e_a $$

cambiará las coordenadas $t_{ij}$ del tensor a través de

$$ t'_{ij} = \sum_{ab} R^a_i R^b_j t_{ab} .$$

Si eso no es completamente inusual, no sé qué lo es.

Definición matemática

Los matemáticos definen los tensores de forma diferente. En concreto, dan una descripción directa y fundamental de lo que es un 2-tensor y sólo después reflexionan sobre su aspecto en diferentes sistemas de coordenadas.

Esta es la definición: a 2-tensor covariante $t$ es un mapa bilineal $t : V\times V \to \mathbb{R}$ . Eso es todo. (Bilineal = lineal en ambos argumentos).

En otras palabras, un 2-tensor covariante $t$ es una cosa que se come dos vectores $\vec v$ , $\vec w$ y devuelve un número $t(\vec v, \vec w) \in\mathbb{R}$ .

Ahora, ¿qué aspecto tiene esta cosa en coordenadas? Elección de una base $\lbrace \vec e_i \rbrace$ la bilinealidad nos permite escribir

$$ t(\vec v, \vec w) = t(\sum_i v^i \vec e_i, \sum_j w^j \vec e_j) = \sum_{ij} v^iw^j t(\vec e_i,\vec e_j) .$$

Ahora, simplemente llamamos a los números $t_{ij} = t(\vec e_i, \vec e_j)$ el coordenadas del tensor $t$ en la base $\vec e_i$ . Se puede calcular que estos números se comportarán como los físicos nos dicen cuando se cambia la base a $\vec e_i'$ . Por tanto, el tensor del físico y el tensor del matemático son una misma cosa.

Producto tensorial

En realidad, los matemáticos hacen algo más avanzado, definen una producto tensorial de espacios vectoriales. La definición anterior como mapa bilineal sigue siendo correcta, pero a los matemáticos les gusta escribirlo como " $t\in V^*\otimes V^*$ " en lugar de " $t: V\times V \to \mathbb{R}$ y $t$ bilineal".

Sin embargo, para una primera comprensión de la definición del físico frente a la del matemático, no es necesario entender el producto tensorial matemático.

Answer 5

La noción más general que conozco es la de producto tensorial de módulos. Puedes leer sobre esto aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product_of_modules

Como los espacios vectoriales son módulos, esta definición se especializa en los espacios vectoriales. El producto tensorial de elementos en estos espacios vectoriales que uno suele ver en los textos de ingeniería y física (frecuentemente matrices) es básicamente un elemento del producto tensorial de los espacios vectoriales correspondientes.