Dificultades en la escritura el Dual de un programa de Primal

Question

Soy un estudiante y estoy estudiando el siguiente problema en mi tiempo libre. Sus comentarios y sugerencias podrían ser de utilidad.

Dado el siguiente programa primal: (Las variables de decisión son $\xi_{v}$, los demás son parámetros)

(escribir según los valiosos comentarios realizados por Mike spivey se)
max $\sum_{v\in A}\left(\sum_{i\in N}\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\cdot w_{i}\cdot d_{ij}\right)\cdot\xi_{v}$
s.t. $\sum_{v\in A}\left(\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\right)\cdot\xi_{v}\leq1,\,\,\,\,\forall i\in N,$
$\sum_{v\in A}\left(\sum_{k\in U_{ij}}\alpha_{ikv}\right)\cdot\xi_{v}\leq x_{j},\,\,\,\,\forall i\in N,j\in F_{i},$
$\xi_{v}\geq0,\,\,\,\,\forall v\in A.$

A continuación, trato de escribir el doble de la misma. Supongamos $\beta_{i}$ son de la variable dual correspondiente al primer conjunto de restricciones y $\mu_{ij}$ son de la variable dual correspondiente al segundo conjunto de restricciones.

(modificado de acuerdo a los valiosos comentarios realizados por Mike spivey se)
min $\sum_{i\in N}\sum_{j\in F_{i}}\left(x_{j}\cdot\mu_{ij}+\beta_{i}\right)$
s.t.
$\sum_{i \in N}\left(\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\right)\cdot\beta_{i}+\sum_{i \in N}\sum_{j\in F_{i}}\left(\sum_{k\in U_{ij}}\alpha_{ikv}\right)\cdot\mu_{ij}\geq \sum_{i\in N}\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\cdot w_{i}\cdot d_{ij},\,\,\,\,\forall v\in A,$
$\beta_{i}\geq0,\forall i\in N,$
$\mu_{ij}\geq0,\forall i\in N,j\in F_{i}.$

Sin embargo, estoy seguro de que debe haber cometido algunos errores. Es porque cuando traté de implementar los dos anteriores programas mediante el uso de IBM ILOG OPL, me dio soluciones diferentes a las de optimalidad! Podría usted por favor me guía hacia la dirección correcta? Yo estaría muy agradecido si usted señalar lo que está mal en mi conversión. Es porque me he pasado varios días, pero todavía no tengo idea. Muchas gracias.

Answer 1

Creo que el problema es con las limitaciones que en el dual (añadido: también hay un problema con el objetivo en el dual, que acabo de corregir), y creo que ayudará a descubrir el error si podemos reescribir el problema primal para enfatizar el primal variables. Haciendo eso, la primera se parece a esto:

max $\sum_{v\in A}\left(\sum_{i\in N}\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\cdot w_{i}\cdot d_{ij}\right)\cdot\xi_{v}$
s.t.
$\sum_{v\in A}\left(\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\right)\cdot\xi_{v}\leq1,\,\,\,\,\forall i\in N,$
$\sum_{v\in A}\left(\sum_{k\in U_{ij}}\alpha_{ikv}\right)\cdot\xi_{v}\leq x_{j},\,\,\,\,\forall i\in N,j\in F_{i},$
$\xi_{v}\geq0,\,\,\,\,\forall v\in A.$

Entonces, para el dual puedo conseguir

min $\sum_{i\in N}\beta_{i} + \sum_{i\in N}\sum_{j\in F_{i}}x_{j}\cdot\mu_{ij}$
s.t.
$\sum_{i \in N}\left(\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\right)\cdot\beta_{i}+\sum_{i \in N}\sum_{j\in F_{i}}\left(\sum_{k\in U_{ij}}\alpha_{ikv}\right)\cdot\mu_{ij}\geq \sum_{i\in N}\sum_{j\in G_{i}}\alpha_{ijv}\cdot w_{i}\cdot d_{ij},\,\,\,\,\forall v\in A,$
$\beta_{i}\geq0,\forall i\in N,$
$\mu_{ij}\geq0,\forall i\in N,j\in F_{i}.$

Recuerde que hay una restricción en el dual de cada variable en la primaria, por lo que en el doble de las limitaciones sólo debe ser indexados por los valores en $A$.