La siguiente integral puede calcularse utilizando la sustitución $x = 4\sin\theta~$ y luego proceder con $dx = 4\cos\theta~ d\theta~$ y evaluando la integral de $\cos^4\theta$ :
$$\int^{4}_0 (16-x^2)^{\frac{3}{2}}\,dx$$
Sin embargo, ¿cómo se plantearía esto, utilizando la integración por partes o de otro modo, para explotar la propiedad de $\displaystyle\int^{4}_0 \sqrt{16-x^2}\,dx$ siendo simplemente un cuadrante circular de radio $4$ ¿Unidades?
Nota: La respuesta final es $48\pi$ .
$\int(16-x^2)^{3/2}=\int(16-x^2)\sqrt{16-x^2}=16\int\sqrt{16-x^2}-\int x^2\sqrt{16-x^2}$ . El primer integral que puedas manejar. La segunda va por partes: dejemos que $u=x$ , $dv=x\sqrt{16-x^2}dx$ entonces antidiferenciar $dv$ mediante una simple sustitución, y se vuelve a $\int(16-x^2)^{3/2}$ .
Parece que has vuelto donde empezaste, pero de hecho obtienes una ecuación para $\int(16-x^2)^{3/2}$ .
Una segunda forma de hacer prácticamente lo mismo: dejar que $$I=\int(16-x^2)^{3/2}dx$$ Hacer la integración por partes con $u=(16-x^2)^{3/2}$ , $dv=dx$ , $du=-3x(16-x^2)^{1/2}dx$ , $v=x$ ; $$I=x(16-x^2)^{3/2}+3\int x^2(16-x^2)^{1/2}dx$$ Ahora $$\int x^2(16-x^2)^{1/2}dx=\int(16-(16-x^2))(16-x^2)^{1/2}dx=16\int(16-x^2)^{1/2}dx-I$$ por lo que tenemos $$I=x(16-x^2)^{3/2}+48\int(16-x^2)^{1/2}dx-3I$$ de la que se obtiene una expresión para $I$ en términos de la integral que querías utilizar.
Si sólo desea utilizar el área del cuadrante circular, puede utilizar Diferenciación bajo el signo integral .
Si $$F(a) = \int_{l(a)}^{u(a)} f(a,x) \ \text{d}x$$
entonces (bajo hipótesis apropiadas) tenemos que
$$F'(a) = f(a,u(a))u'(a) - f(a,l(a))l'(a) + \int_{l(a)}^{u(a)} \frac{\partial f(a,x)}{\partial a} \ \text{d} x$$
Así, si $$F(a) = \int_{0}^{a} (a^2 - x^2)^{\frac{3}{2}} \ \text{d}x$$
Entonces como $\displaystyle f(a,a) = (a^2 - a^2)^{\frac{3}{2}} = 0$ obtenemos aplicando lo anterior que
$$F'(a) = \int_{0}^{a} \frac{\partial (a^2 - x^2)^{\frac{3}{2}}}{\partial a} \ \text{d}x = 3a \int_{0}^{a} (a^2 - x^2)^{\frac{1}{2}} \ \text{d}x = \frac{3 \pi a^3}{4}$$
(aquí es donde utilizamos ese $\displaystyle \int_{0}^{a} (a^2 - x^2)^{\frac{1}{2}} \ \text{d}x$ es el área de un cuadrante del círculo de radio $a$ ).
Desde $\displaystyle F(0) = 0$ tenemos que
$$F(a) = \frac{3 \pi a^4}{16}$$
Por lo tanto su integral es $$F(4) = 48 \pi$$
Lo que sigue no ayuda realmente a evaluar la integral (pero véase el comentario hacia el final). Sin embargo es contenido geométrico.
Buscamos alguna idea geométrica sobre $\int_0^4 (16-w^2)^{3/2}dw$ o, en términos más generales $$\int_0^R (R^2-u^2)^{3/2}dw$$ donde $R$ es positivo.
Primero hacemos un análisis dimensional. Supongamos que $R$ se mide en pies. Entonces $(R^2-w^2)^{3/2}$ se mide en pies cúbicos, al igual que $dw$ por lo que la integral se mide en pies $^4$ . Interesante, parece el volumen de un $4$ -objeto dimensional, tal vez una pelota. Veamos la bola de radio $R$ en $4$ -espacio dimensional.
Debido a mis limitadas habilidades para el dibujo, es conveniente recurrir a algo de álgebra. La bola estándar de radio $R$ tiene ecuación $$w^2+x^2+y^2+z^2=R^2.$$ Vamos a encontrar su volumen, tal vez utilizando el corte, o conchas cilíndricas.
Tome una rebanada de espesor $dw$ perpendicular al $w$ -eje, a "altura" $w$ . La sección transversal parece una esfera. En $$x^2+y^2+z^2=R^2-w^2$$ podemos ver que el radio de la esfera de sección transversal es $(R^2-w^2)^{1/2}$ . Por lo tanto, el hipervolumen, si eso es una palabra, de la rebanada es aproximadamente $$\frac{4\pi}{3}(R^2-w^2)^{3/2} dw.$$ Ahora suma, de $-R$ a $R$ o simplemente duplicar la integral de $0$ a $R$ . El volumen de la bola es $V$ donde $$V= \int_0^R \frac{8\pi}{3}(R^2-w^2)^{3/2} dw.$$
Ahora busca el volumen de una pelota en alguna fuente estándar. Encontramos que $V=\frac{\pi^2}{2}R^4$ y concluir que $$\int_0^R \frac{8\pi}{3}(R^2-w^2)^{3/2} dw=\frac{3\pi}{16}R^4.$$
Comentario : Todo lo anterior es inútil para evaluar la integral, ya que la forma más razonable de calcular el volumen es evaluar la integral. Pero hay alternativas.
Uno de ellos se describe aquí. Por desgracia, implica ideas más sofisticadas que la sustitución trigonométrica habitual o las partes. Lo más interesante es que se ha esbozado un enfoque "elemental" sin integración aquí.
Otra opción es $x=4\sin t$ por lo que su integral se convierte en $256\int_0^{\pi/2}\cos^4t dt$ . Esto nos da varios enfoques. Podemos escribir la integral como $$128\operatorname{B}\left(\frac52,\,\frac12\right)=128\frac{\Gamma(\frac52)\Gamma\left(\frac12\right)}{\Gamma\left(3\right)}=\frac{128\frac{3}{4}\pi}{2}=48\pi,$$ o como $$64\int_0^{\pi/2}(1+\cos 2t)^2dt=64\int_0^{\pi/2}(1+2\cos 2t+\cos^2 2t)dt\\=64\int_0^{\pi/2}\left(\frac32+2\cos 2t+\frac12\cos 4t\right)dt=48\pi$$ (porque $[\sin 2kt]_0^{\pi/2}=0$ para todos $k\in\Bbb Z$ ).
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He intentado hacerlo en coordenadas polares, estableciendo $r=4,x=r\cos\theta$ y así sucesivamente, pero eso es esencialmente lo mismo que estás haciendo con la sustitución trigonométrica. Mi integral se convirtió en $64 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta d\theta$ .