Sea $A$ cualquier conjunto. ¿Existe un conjunto $E$ tal que $A \times E = E \times A = A$?
Pensé en el conjunto vacío, pero Wikipedia dice lo contrario. Esta operación cambia la dimensión, por lo que podría requerirse un isomorfismo para que exista dicho elemento.
Es desafortunado (pero no es culpa tuya en absoluto) que uno necesite colocar muchas explicaciones y especificaciones para poder dar una respuesta definitiva a lo que parece una pregunta razonable. Desafortunado porque de hecho hay muchas suposiciones detrás de la notación.
La primera suposición es ¿qué se entiende por igualdad? ¿Nos referimos a igualdad de conjuntos, o nos referimos a equivalencia de conjuntos (hasta una biyección)?
La segunda pregunta es ¿qué se entiende por $A\times B$; es el conjunto de pares ordenados, seguro, pero ¿qué es un par ordenado? Hay muchas definiciones diferentes. Una de las más estándares es la definición de par ordenado de Kuratowski: $$(a,b) = \bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\}.$$ La definición precisa de par ordenado importará si estamos preguntando sobre la igualdad de conjuntos en lugar de simple equivalencia hasta una biyección.
La tercera pregunta es si quisiste preguntar si hay un conjunto $E$ tal que para todos los conjuntos $A$, $E\times A = A\times E = A; o si quisiste preguntar si para cada conjunto $A$ existe un conjunto $E$ tal que $E\times A = A\times E = A$. Formalmente, son preguntas diferentes (aunque una respuesta afirmativa para la primera implica una respuesta afirmativa para la segunda).
Y la pregunta final es en qué Teoría de Conjuntos estás trabajando.
En su versión más débil, si la igualdad de conjuntos significa "hasta una biyección", entonces la respuesta es sí: cualquier conjunto unitario $E$ cumplirá con la pregunta más fuerte: si $E$ es unitario, entonces para cada conjunto $A$, hay una biyección entre $A\times E$ y $E\times A$, y ambos son biyectables con $A$. El mapa de proyección sobre $A$ es una biyección en este caso, y la definición precisa de par ordenado no importa.
¿Qué pasa si por igualdad entendemos verdadera igualdad de conjuntos, y estamos buscando un elemento identidad para el producto cartesiano? La respuesta es no, independientemente de tu definición precisa de par ordenado, siempre que tu Teoría de Conjuntos tenga algunos de los axiomas básicos (Especificación/Separación y Conjuntos Potencia lo harán). Si $E$ está vacío, entonces para cualquier $A$ no vacío tenemos $E\times A\neq A$. Si $E$ no está vacío, entonces sea $A$ un conjunto que contiene un elemento que no es parte de $E$ (tales conjuntos existen por el Axioma de Especificación: si $X=\{e\in E\mid e\notin e\}$, entonces es un ejercicio fácil mostrar que $X$ no es un elemento de $E; y entonces el elemento del conjunto potencia de $E$ que contiene solo a $X$ es un conjunto que contiene un elemento que no es un elemento de $E$). Entonces $E\times A\neq A\times E$, porque si $x\in A$ es un elemento que no está en $E$, y $e\in E$ es cualquier elemento, entonces $(x,e)\in A\times E$, pero $(x,e)\notin E\times A$, porque $x\notin E.
¿Qué pasa si por igualdad entendemos verdadera igualdad de conjuntos, pero se permite que el conjunto $E$ dependa de $A$? En Teoría de Conjuntos con el Axioma de Fundación y la definición de par ordenado de Kuratowski, el único conjunto $A$ para el cual existe un conjunto $E$ con $A\times E = A$ es el conjunto vacío. De hecho, si $A$ es vacío, entonces para cualquier conjunto $E$ tenemos $A\times E = \emptyset = A. Ahora, supongamos el Axioma de Fundación/Regularidad:
Para cada conjunto no vacío $C$, existe $x\in C$ tal que $x\cap C = \emptyset.
Supongamos que $A$ no es vacío, y existe un conjunto $E$ tal que $A\times E = A. Para cada $a\in A$ existe $a'\in A$ y $e\in E$ tal que $(a',e)=a. Eso significa que $a = \bigl\{\{a'\},\{a',e\}\bigr\}. Por lo tanto, para cada $a\in A$ existe $a'\in A$ tal que $\{a'\}\in a. Sea $C$ el conjunto $$C = A\cup\bigl\{ x\in\mathcal{P}(A)\mid x\text{ es un unitario}\bigr\}. Por el Axioma de Fundación, existe $c\in C$ tal que $c\cap C=\emptyset. Si $c\in A, entonces por el argumento anterior existe $a'\in A$ tal que $\{a'\}\in c; pero $a'\in A$, así que $\{a'\}\in C, por lo tanto $\{a'\}\in c\cap C, contradiciendo la elección de $c. Por lo tanto, concluimos que $c\in\mathcal{P}(A)$ y $c$ es un unitario, $c=\{a\} para algún $a\in A. Pero luego $a\in c\cap C, nuevamente contradiciendo la elección de $c.
Esta contradicción surge de suponer que existe un conjunto $E$ tal que $A\times E = A$ cuando $A$ no es vacío, así que concluimos que si $A$ no es vacío, entonces no existe tal $E.
sin embargo, si no tienes el Axioma de Fundación, entonces es posible que existan algunos conjuntos no vacíos $A$ para los cuales existen conjuntos $E$ con $A\times E = A. Por ejemplo, si tomas ZF con el axioma anti-fundación de Aczel, entonces existe un conjunto $A$ tal que $A=\{A}. Luego, $A\times A = A, ya que $$(A,A) = \bigl\{ \{A\},\{A,A\}\bigr\} = \bigl\{\{A\},\{A\}\bigr\} = \bigl\{\{A\}\bigr\} = \{A\} = A. Entonces $A\times A = \{(A,A)\} = \{A\} = A.
Pero incluso en esta situación, siempre existen conjuntos que no satisfacen la propiedad deseada (es decir, conjuntos $A$ para los cuales no existe algún $E$ con $A\times E = E\times A = A); simplemente toma un conjunto bien fundamentado no vacío y procede como arriba (un "conjunto bien fundamentado" simplemente significa un conjunto que sí satisface la declaración en el Axioma de Fundación).
En cierto sentido, toda la razón por la que tenemos estas cosas llamadas suma y multiplicación y los axiomas de anillo es debido a ciertas propiedades satisfechas por el producto cartesiano y la unión disjunta. Ambos son asociativos y conmutativos (hasta isomorfismo natural). Uno se distribuye sobre el otro (hasta isomorfismo natural). Ambos tienen elementos identidad (hasta isomorfismo natural). Decategorificar, restringiéndose a conjuntos finitos, y obtienes los enteros no negativos. Toma el grupo de Grothendieck, y obtienes los enteros, y luego en algún momento te lleva a escribir los axiomas de anillo en general. Pero es bueno tener en cuenta de dónde viene todo esto.
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