Motivación de la localización

Question

En el contexto de Álgebra comutativa, localización en un primer ideal fue inspirado por las ideas de la geometría algebraica. Un autor dijo que al igual que "tomar un pequeño barrio". Pero ¿qué exactamente significa esto?

Answer 1

En el clásico de la geometría algebraica, uno de los estudios afines algebraicas conjuntos, que son la desaparición de los conjuntos de polinomios. Para ello, tenemos a menudo el estudio de las funciones de estos conjuntos algebraicos. Hay dos tipos de funciones interesantes en este ajuste: regular las funciones y funciones racionales.

Deje $k$ ser un algebraicamente cerrado campo de característica cero, y deje $\mathbb{A}^n = k^n$ ser afín $n$-espacio de más de $k$. Un afín algebraicas conjunto es la fuga de algunos de la colección de polinomios, es decir, un conjunto de la forma $$ \mathbb{V}(S) = \{a \in \mathbb{A}^n : f(a) = 0 \ \text{para todo} \ f \S\} $$ para algunos $S \subseteq k[x_1, \ldots, x_n]$. Resulta que establece de esta forma satisfacer los axiomas de conjuntos cerrados, por lo tanto puede ser utilizado para definir una topología en $\mathbb{A}^n$, llama la topología de Zariski. Dado $f \in k[x_1, \ldots, x_n]$, vamos $$ D(f) = \mathbb{A}^n \setminus \mathbb{V}(f) = \{a \in \mathbb{A}^n : f(a) \neq 0\} \, . $$ A continuación, $D(f)$ es un Zariski-conjunto abierto, llamado un distinguido conjunto abierto. Por otra parte, la colección de $\{D(f) : f \in k[x_1, \ldots, x_n]\}$ forma una base para la topología de Zariski.

Dado un conjunto algebraico $V$, las funciones que son idénticamente cero en $V$ son elementos de la ideal $$ \mathbb{I}(V) := \{f \in k[x_1, \ldots, x_n] : f(a) = 0 \ \text{para todo} \ a \V\} \, . $$ Desde que nos quieren "tirar" las funciones que de manera idéntica $0$$V$, podemos definir (a nivel global) funciones regulares en $V$ como elementos del anillo de $k[V] := k[x_1, \ldots, x_n]/\mathbb{I}(V)$, llamado el anillo de coordenadas de $V$. Si $V$ es una irreductible algebraicas conjunto (aka, una irreductible variedad), a continuación, $\mathbb{I}(V)$ es primo. A continuación, $k[V]$ es una parte integral de dominio, para que podamos forma de su fracción de campo $k(V)$, llama la función de campo de $V$, y cuyos elementos son llamados funciones racionales en $V$. Puesto que una función racional es un cociente de funciones regulares, normalmente no será definido en todas partes en $V$: será indefinido en un punto si su denominador no se desvanece. Si una función racional $f$ es definido en un punto de $a \in V$, podemos decir que ese $f$ es regular en $a$.

Supongamos que estamos interesados en el estudio de las propiedades locales de las funciones de cerca de un punto de $a \in V$. Desde estas propiedades son "locales", podemos restringir nuestra atención a un distinguido abrir subconjunto de $a$, que es de la forma $D(f) \cap V$. ¿Cuáles son las funciones racionales que son regulares en todos los puntos de $D(f)$? Bueno, ya $f \neq 0$$D(f)$, sin duda podemos permitir $f$ como denominador. Resulta que la respuesta es exactamente $k[V]_f := k[V][1/f]$, la localización de $k[V]$ en el conjunto multiplicativo $\{1, f, f^2, \ldots \}$.

Supongamos que en lugar queremos estudiar una subvariedad $W \subseteq V$. $W$ serán definidos por un primer ideal $\mathfrak{p} \trianglelefteq k[V]$. Podemos estudiar las funciones en $W$ mediante el estudio de las funciones en $V$, pero queremos excluir aquellas funciones que no están definidos en todos los puntos de $W$, es decir, las funciones cuyos denominadores son en $\mathfrak{p}$. Por lo tanto consideramos que las funciones racionales cuyos denominadores son no contenida en $\mathfrak{p}$. Estos son exactamente los elementos de la localización de la $k[V]_\mathfrak{p} := S^{-1} k[V]$ donde $S = k[V] \setminus \mathfrak{p}$.

En resumen, al restringir nuestra atención de $V$$D(f) \cap V$, hemos ampliado la colección de regular las funciones de $k[V]$ $k[V]_f$por localización. Cuando nos limita a un subconjunto más pequeño aún $W \subseteq V$, tenemos una aún más grande colección de regular las funciones de $k[V]_{\mathfrak{p}}$. Para más información sobre esto, recomiendo el Capítulo 2 de David Eisenbud del Álgebra Conmutativa: con Vistas a la Geometría Algebraica.

Como última nota, esta idea persiste en el esquema de la teoría de la aproximación a la geometría algebraica. Cuando la definición de esquemas de Grothendieck se comienza por definir la estructura de la gavilla en un esquema afín $X = \operatorname{Spec}(R)$, y lo hace dejando $\mathcal{O}_X(D(f)) = R_f$ sobre la base de distinguidos abrir sets (donde la definición de "distinguido conjunto abierto" ha sido modificado apropiadamente).

Answer 2

$\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}$Vamos a empezar con la idea de "sólo mirar a las funciones en barrios pequeños de un punto".

Motivacional Ejemplo: Vamos a $X$ ser un espacio topológico y para cada una de las $U\subseteq X$, vamos a $\mathcal O(U)$ ser la colección de continuo mapas de $X\to\Bbb R$. Estos mapas tienen la siguiente propiedad:

$(*)$ Abierta $U\subseteq X$, y un abierto de la cubierta $U=\cup_i U_i$, junto con un elemento $f_i\in\mathcal O(U_i)$ por cada $i$, de tal manera que $f_i|_{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$ todos los $i,j$, entonces no es un único mapa $f\in\mathcal O(U)$ tal que $f|_{U_i}=f_i$.

Ahora, para cualquier punto de $x\in\Bbb R$, se puede considerar que la colección de $\{(f,U)\mid f\in\mathcal O(U)\}$, con la siguiente relación de equivalencia: $(f,U)\sim(g,V)$ si existe alguna $W\subseteq U\cap V$ tal que $f|_W=g|_W$. Denotamos esta colección con la equivalencia de la relación $\mathcal O_x$, y es llamado el tallo en $x$.

El punto de la definición anterior es que nos da una conveniente lenguaje para describir cuando dos funciones son las mismas "arbitrariamente un pequeño barrio de $x$".

Cómo se relaciona esto con el primer ideales?

Bueno, en primer lugar, hacemos la observación de que en cualquier espacio topológico, si tenemos una colección de "funciones" en cada subconjunto abierto de satisfacer la condición de $(*)$, a esto le llamamos una gavilla (buscar la entrada de la wikipedia si quieres, la precisa definición). También podemos definir para cualquier gavilla $\mathcal O$ $X$ y el punto de $x\in X$ el tallo $\mathcal O_x$ en la misma forma en que hemos definido antes.

Ahora, resulta que si dejamos $\Spec A$ denota el conjunto de primer ideales de $A$ donde $A$ es un anillo conmutativo con $1$, entonces no es realmente un natural de la topología de este conjunto, llamado la topología de Zariski. Además, hay una natural gavilla estructura en $\Spec A$, donde las "funciones" en ciertos subconjuntos abiertos está dada por ciertas localizaciones de la $A$. Muy interesante!

Ahora, ya tenemos una gavilla en $\Spec A$, podemos considerar que el tallo en un primer ideal $\mathfrak p$, es decir, un punto de $\Spec A$. Resulta que este tallo es precisamente igual a $A_{\mathfrak p}$, la localización en $\mathfrak p$! Así que este anillo de $A_{\mathfrak p}$, en cierta manera, corresponde a "funciones arbitrariamente pequeños barrios de $\mathfrak p$".

Espero que esto ayude! Quisiera saber si me pueden ampliar en cualquier cosa.