Sin calculadora demostrar que $\log^211+\log^29<\log99$

Question

Sin calculadora demostrar que %#% $ #%

La base del logaritmo es $$\log^211+\log^29<\log99$.

Tengo una prueba para la desigualdad similar. Demostrar que: %#% $ de #% hecho, $10$ $ $$\log^211+\log^29>\log98.$ $

Answer 1

Consejo: no $f(x)=\log^2(x)-\log(x)$ $f''(x)=\cfrac{-2 \ln(x) + 2 + \ln(10)}{x^2\, \ln^2(10)}\,$ y $f''(x) \lt 0$ $x \gt \sqrt{10}\,e$. Dado que el $\sqrt{10}\,e \lt 9\,$ sigue que $\frac{1}{2}\left(f(9)+f(11)\right) \lt f\left(\frac{1}{2}(9+11)\right) = f(10)=0\,$ por concavidad de $f(x)\,$, y este último es equivalente a la desigualdad propuesta.