Ejemplo de 2 grupos no isomorfos de los cocientes de la misma

Question

Estoy buscando un ejemplo de 2 no isomorfo grupos $G_1,G_2$ finitamente generados y presentados que tienen los mismos cocientes finitos (hasta isomorfismo).

Gracias

Answer 1

En mi respuesta a esta pregunta, escribió presentaciones finitas de un papel de Baumslag y Solitar de dos grupos no isomorfos que son isomorfo a un grupo cociente de la otra. Así que estos dos grupos tienen exactamente los mismos grupos cociente, cociente no igual finito grupos.

Answer 2

Hay finitamente presentado grupos infinitos que no tienen cocientes finito no trivial.

Usted podría tomar dos de estos.

Puede haber ejemplos más fácil, sin embargo.

Answer 3

Hay un famoso ejemplo de no-residual finito uno-relator del grupo, $$\langle a, b \mid (ab)^{(ab)^a} = (ab)^2\rangle,$$ debido a Baumslag, Miller y Troeger, que tiene el mismo finito de coeficientes (el finito cíclico grupos) como el infinito cíclico grupo. Es un caso particular de una más general resultado. Este aparece en el siguiente artículo (que me acaba de pasar para tener a mano).

Gilbert Baumslag, Charles F. Miller III y Douglas Troeger, Reflexiones sobre el residual de la finitud de un relator grupos, Grupos de Geom. Dyn. 1 (2007), 209-219. PDF

Answer 4

El Thompson grupos $T < V$ son nonisomorphic, finitely presentado, infinito, simple grupos---por lo que la única finito cociente que tienen en común es la trivial grupo.

Cannon-Floyd-Parry encuesta del artículo ofrece una presentación para $T$ con 3 generadores y 2 relaciones, pero tal vez alguien más ha golpeado a 2 generadores desde entonces. La presentación se dio por $V$ fue menos amable (4G, 14R). Sombrío y Rápida de dar un 2-generador, 7-relator de la presentación de $V$ en arXiv:1511.02123 [matemáticas.GR].

Answer 5

Sea $Z_k$ el Grupo cíclico de orden $k$.

Considerar, $A = Z_2 \times Z_2$ y $B = Z_4$.

Estas no son isomórficos entre sí y el cociente sólo no triviales tienen es $Z_2$.