encontrar el máximo de $f(x)=\sqrt{(x^2-4)^2+(x-5)^2}-\sqrt{(x^2-2)^2+(x-1)^2}$

Question

Necesito encontrar el máximo de $$f(x)=\sqrt{(x^2-4)^2+(x-5)^2}-\sqrt{(x^2-2)^2+(x-1)^2}$$

Al $x$ es un número real.

Lo que hice es para simplificar: $$f(x)=\sqrt{x^4-7x^2-10x+41}-\sqrt{x^4-3x^2-2x+5}$$.

Entonces me cálculo: $$f'(x)=\frac{-5-7x+2x^3}{\sqrt{41-10 x-7 x^2+x^4}}+\frac{1+3x-2x^3}{\sqrt{5-2 x-3 x^2+x^4}}$$.

Pero no pudo resolver $f'(x)=0$ para la búsqueda de $f(x)_{max}$.

Yo estaría encantado por su ayuda.

Gracias.

Answer 1

Ha $\frac{-5-7x+2x^3}{\sqrt{41-10x-7x^3+x^4}}+\frac{1+3x-2x^3}{\sqrt{5-2x-3x^2+x^4}}=0$, por lo que $\frac{-5-7x+2x^3}{\sqrt{41-10x-7x^3+x^4}}=-\frac{1+3x-2x^3}{\sqrt{5-2x-3x^2+x^4}}$ $\frac{(-5-7x+2x^3)^2}{41-10x-7x^3+x^4}=\frac{(1+3x-2x^3)^2}{5-2x-3x^2+x^4}$ y, finalmente, $(5-2x-3x^2+x^4)(-5-7x+2x^3)^2=(41-10x-7x^3+x^4)(1+3x-2x^3)^2$

Su gran polinomio, pero usted tiene que encontrar las 10 de las raíces (la eliminación de la extraña gallinero que hizo a $41-10x-7x^3+x^4<0$ o $5-2x-3x^2+x^4<0$) y comprobar cual de ellos es el max o si el max es en $-\infty$ o $\infty$. Será un largo camino si quieres lo hizo por su propia...

Así que usted puede eliminar de $(x+1)^2$ por factor común en ambos lados, por lo $x=-1$ 2 raíces y siendo las 8:

$(2x^2-2x-5)^2(x^4-3x^2-2x+5)=(2x^2-2x-1)^2(x^4-7x^3-10x+41)$

Y por la expansión de usted puede conseguir

$28x^7-84x^6+72x^5-108x^4+267x^3-155x^2-104x+84=0$ y dividiendo por $(x-1)$ (y, por tanto, $x=1$ es otra raíz)

$28x^6-56x^5+16x^4-92x^3+172x^2+20x-81=0$

sólo 6 de las raíces permanecen y se puede utilizar métodos de acercamiento a $x\approx-0.614946$ $x\approx0.886814$

Answer 2

Tengo aviso de que si $A(x^2,x),B(1,2),C(5,4)$, lo $f(x)=AC-AB$.

También se $AC-AB\leq BC$. por lo que el máximo de $f(x)$$BC=\sqrt{20}$.

He comprobado y es el valor correcto por wolfram.

El problema es que no puedo justificar.

Por ejemplo, si i: $g(x)=\sqrt{(x-4)^2+(x-5)^2}-\sqrt{(x-2)^2+(x-1)^2}$

Y elegir: $A(x,x),B(1,2),C(5,4)$ todavía se $\sqrt{20}$, pero esta función no tiene un valor máximo por wolfram.

Tal vez alguien pueda explicar mi error.

Answer 3

Sugerencia:

Considerar los puntos de $A=(4,5)$ $B=(1,2)$ y un punto de $P$ sobre la línea de $x=y$ paralela a la línea AB. Tenemos para las distancias $PA$, $PB$ $AB$ el triángulo de la desigualdad $$PA-PB \le AB$$ with equality if an only if $Un$,$B$, $P$ lie on a line in this order. This will only happen for points $P$ chosen on $x=y$ at $-\infty$. The supremum value is $AB = 3\sqrt{2}$, el máximo no se logra.

Answer 4

aquí es geo solución podría ser poner las cosas en claro:

deje $y=x^2,A(x,y),B(5,4),C(1,2)$,su problema se convierten al $A$ se mueve en $y=x^2$, encontramos max de $AB-AC$.

es trivial $AB-AC <CB$, excepto cuando se $A=D$ $DB-DC=CB$