$-1$ elevado a la $\pi$

Question

Sabemos que las condiciones siguientes son verdaderas:

$(-1)^{2n}$ $1$ donde $n$ es un número entero

$(-1)^{2n+1}$ $-1$ donde $n$ es un número entero.

Podemos extender este razonamiento de los números racionales.

Si dejamos a un número escrito en forma de $a+\frac{b}{c}$ tal que $\gcd(b,c) = 1$ $a, b, c$ son enteros, a continuación, para evaluar $(-1)^{a+\frac{b}{c}}$, podemos separar $(-1)^{a+\frac{b}{c}}$ a $(-1)^{a}\times\frac{(-1)^b}{(-1)^c}$. Los términos $(-1)^{a}$, $(-1)^b$, $(-1)^c$ puede ser reducido a cualquiera de los dos casos anteriores; y resolvemos para $-1$ o $1$.

Ahora, ¿cuál es $(-1)^\pi$. No es racional, por lo que no hay una proporción perfecta que se puede hacer con el método anterior. Estoy sospechando de que las raíces de la unidad de venir a jugar aquí, o DeMoirve del Teorema, pero no se resuelven si se puede o no resolver $r^n$ donde r es el radio del número complejo y n es el exponente.

NOTA: todavía estoy en la escuela secundaria, así que estoy en busca de una respuesta que no tiene ningún tipo de avance de matemática - pero será un placer aceptar cualquier respuesta a la pregunta por curiosidad.

Gracias :)

Answer 1

Para cualquier número complejo a$z$$a$, el plazo $z^a$ se define como $z^a=e^{a\log(z)}$. Luego, con $z=-1$ $a=\pi$ hemos

$$\begin{align} (-1)^\pi&=e^{\pi\log(-1)} \tag 1\\\\ &=e^{\pi(i\pi +i2n\pi)} \tag 2\\\\ &=e^{i\pi^2 (2n+1)}\\\\ &=\cos(\pi^2 (2n+1))+i\sin(\pi^2 (2n+1)) \end{align}$$

para todos los valores enteros de a $n$.

Tenga en cuenta que para ir de a $(1)$ $(2)$hemos reconocido la multivalor la naturaleza de los complejos logaritmo, $\log(z)=\log(|z|)+i(\text{Arg}(z)+2n\pi)$. Aquí, $|z|=1$$\text{Arg}(z)=\pi$.