Polinomio complejo y el círculo unitario

Question

Dado un polinomio $ P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_0 $, tal que
$\max_{|z|=1} |P(z)| = 1 $

Demuestra: $ P(z) = z^n $

Pista: Utiliza la estimación del teorema de Cauchy sobre derivadas $$ |f^{(n)} (z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z-z_0|\leq r} |f(z)| $$ y observa la función $ \frac{P(z)}{z^n} $

Parece estar relacionado con el principio del máximo, pero no puedo ver cómo utilizarlo y no entiendo cómo aplicar la pista.

Answer 1

Sea $g(z):=z^nP\left(\frac 1z\right)$. Es un polinomio cuyo término principal es $a_0$ y cuyo coeficiente constante es 1. Tenemos que $g(0)=1$ y $\max_{|z|=1}|g(z)|=1$, por lo tanto, por el principio del módulo máximo, $g$ es una constante igual a $1$. Esto nos da el resultado deseado.

Answer 2

Otra forma de hacerlo es utilizar la ortogonalidad de los exponentiales para ver

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|P(e^{it})|^2\,dt = 1^2 +|a_{n-1}|^2 + \cdots + |a_0|^2.$$

Dado que $|P|\le 1$ en el círculo, la expresión de la izquierda es $\le 1.$ Se sigue que $a_k=0$ para $k=0,\dots ,n-1.$