Es posible la captura de una esfera en un nudo?

Question

Usted y yo decidimos jugar a un juego:

Para empezar, le proporcionará un sin fricción, perfectamente esférica de la esfera, junto con un sin fricción, unstretchable, infinitamente delgada soga mágica. Esta cuerda tiene la propiedad mágica de que si alguna vez tocar sus extremos a cada uno de los otros, ellos se juntan y nunca se venga abajo por toda la eternidad. Usted consigue solamente un ejemplo de la cuerda, pero se le permite especificar su longitud.

Siguiente, cierro los ojos y enchufe mis oídos como hacer algo a la cuerda y la esfera. Cuando haya terminado con todo lo que han decidido hacer, me puede dar la espalda a la esfera y la cuerda. Luego intento mi mejor para quitar la cuerda de la esfera (es decir, hacer que los más pequeños de la distancia desde un punto de la cuerda a un punto de la esfera al menos 1 metro). Por supuesto, ya que la cuerda no es elástico, la longitud total de la cuerda no puede aumentar, mientras que yo estoy tratando de quitar de la esfera.

Si tengo éxito en la eliminación de la cuerda de la esfera, yo gano. De lo contrario, ganar. Que tiene la estrategia ganadora?

EDIT: Para aclarar, Zeb está buscando una respuesta con una longitud finita, trozos de cuerda suave, y la esfera debe ser rígida.

Answer 1

Me gustaría tratar de "papel de regalo" de la esfera. Tome el 1-esqueleto de la octaedro, y tomar un camino Euleriano. A continuación, hacer de cada vértice en un toque, y tire apretado, por lo que se ve como la unión de tres ortogonal grandes círculos. No tengo idea de si esto tiene alguna longitud de la disminución de las deformaciones. He aquí un crudo de la proyección estereográfica, objeto de burlas aparte, de modo que usted puede ver los cruces:

Véase la parte inferior izquierda Japonés vidrio float:

Hay algunas variaciones que uno podría hacer a esta construcción, si esto no funciona. Algo como esto:

Edit: en Realidad, me di cuenta de que esto no va a funcionar. Uno puede deformar el 1-esqueleto de la octaedro por la rotación de los dos grandes círculos hacia el 3er sin cambiar su longitud. Así que usted puede girar todo en un gran círculo, a continuación, deslice fuera. Los Japoneses de conseguir alrededor de este problema mediante la vinculación de pequeños nudos donde las hebras broche de unos a otros, lo que impide la verices de movimiento. Pero por supuesto, esto no está permitido en la formulación del problema.

Edit: creo que la respuesta es "no". He encontrado este resumen en Mathscinet, aunque no he mirado el artículo. Pronin demuestra que un (a nivel local) un mínimo de 1 complejo (red) en una esfera es inestable. Desde un modelo lineal por tramos "nudo" en la superficie de una esfera que tiene subyacente espacio de un (multi) grafo, se puede deformar el gráfico para disminuir la longitud y la longitud del nudo disminuye. La única cosa que no estoy muy seguro es de si Pronin permite múltiples aristas, pero yo estaría dispuesto a apostar que el mismo argumento (lo que sea) funciona en este caso.

Answer 2

Edit: Esta solución es incorrecta, pero me voy de aquí porque creo que todavía es muy interesante.

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He aquí una solución Scott Morrison y se me ocurrió.

Elegir un trivalente gráfico en la esfera con los vértices conectados por segmentos de grandes círculos de tal manera que cualquier leve pertubation de los vértices resultaría en una mayor longitud de la arista. El realmente simétrica tetradodecaedro en la esfera es una gráfica.^† Ahora reemplace cada vértice con un "diente de enganche vértice" y cada arista por un par de capítulos:

Introducir algunos giros inesperados a lo largo de los bordes con el fin de hacer el vínculo completo en un solo nudo. Dos hebras de ejecución entre un par de vértices no pueden ser separados sin hacer más, así que la única manera de deformar el nudo alrededor de la esfera es deformar el "subyacente gráfico", y hemos escogido el gráfico para que cualquier deformación resultado sería estrictamente de mayor tamaño total de la longitud de la arista.

El resultado final (sin los giros para hacer un solo componente) sería esto si usted utiliza un tetraedro en su lugar:

^†Si usted no cree que la simetría del tetraedro es mínima en esta forma, ya sea probarlo en otra respuesta, o hacer otra pregunta! Edit: Como algunos de ustedes han señalado, el tetraedro no es una mínima gráfico, y nos estaban demasiado codicioso pidiendo un mínimo de gráfico donde los vértices están tan lejos. Así que usted tiene que encontrar algún gráfico que en realidad es mínimo. Creo que un dodecaedro debe hacer el truco (edit: no), pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 3

El dodecaedro regular no es un mínimo local para el total de la longitud de la arista. Considerar los cinco vértices V_i, i = 1, ..., 5 de un rostro en conjunto con el "centro" C de la cara. El triángulo esférico CV₁V₂ tiene ángulos de 72°, 60°, 60°, por lo que V₁V₂ > CV₁. Por lo tanto, si nos movemos todos los cinco de la V_i a C, el total de la longitud de la arista disminuye. (Esta parte sería cierto incluso si los bordes de unirse a la V_i a el resto de el dodecaedro no se extienden a pasar a través de C, por la desigualdad de triángulo.)

A medida que nos movemos de la V_i simétricamente hacia el C a lo largo de los bordes de CV_i a velocidad constante, el total de la longitud de la arista es alguna función suave que es más pequeño en la final de la moción que al principio. Yo quiero probar el principio, no es un mínimo local. Si lo fuera, habría un segundo punto crítico en el interior de la moción. Pero eso contradice el teorema de Torricelli—el ángulo de CV₁V₂, que es de 180° menos que el ángulo entre dos de las aristas incidentes en V₁, está disminuyendo durante el movimiento, y por tanto sólo una vez igual a 60°.

Answer 4

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la cuerda está en todas partes de la tangente a la esfera. A continuación, algunos de los infinitesimales Möbius tranform de su superficie, lo que puede acortar la envoltura de longitud, mientras que la preservación de la travesía patrón (y por lo tanto va a aflojar la cuerda sin que éste pase a través de la misma). Una vez que se prueba, se mueve en esta dirección permitirá a la esfera de escapar.

Prueba. deje $u$ ser factor de conformación. Desde Möbius transformar preservs área total $\oint u^2=1$ . Por lo tanto, $\oint u<1$. De ello se deduce que para un adecuado rotación de $S^2$, obtenemos la longitud de la disminución de la familia de Möbius tranforms.

Comentarios

• La misma prueba en obras para el enlace hecha de 3 círculos.

• Es fácil capturar la esfera en un enlace de 4 círculos. (4 cadenas de ir alrededor de las 4 caras de un tetraedro regular en $S^2$ y el enlace de una los vértices como en la respuesta de Anton Geraschenko, la primera foto)

• Por CIERTO, se Puede capturar un cuerpo convexo en un nudo?

Answer 5

Algunos "escalador de la intuición" sugirió que podría ser posible hacer esto con un elipsoide. La idea es atar dos diente de enganches cerca de los extremos puntiagudos:

   

Esto parece que no acaba de funcionar, ya sea diente de enganche puede mover hacia el centro y, simultáneamente, afloje. Tal vez es posible obtener el elipsoide apenas a la derecha para que la "punta suficiente el diente de tirones no puede caer fuera de la final", y "ronda suficiente como para que el diente de tirones no puede aflojar lo suficientemente rápido".

Mejor aún, después de ver esto, Anton y me di cuenta de que se puede construir "trivalente vértices" esencialmente el uso de un diente de enganche. Él está a punto de publicar un seguimiento de la respuesta explicando que geodésica trivalente los gráficos pueden ser realizadas por "apretado" nudos.