Una pregunta sobre desigualdad ${(n+1)\over e^n}^n<n!$

Question

Cómo probar la desigualdad $${(n+1)\over e^n}^n<n!$ $

He tratado de inducción matemática, pero no funciona! ¿Hay otros métodos para resolverlo?

Answer 1

Use el teorema del binomio en $(1 + n)^n$ y probar.

$$(1 + n)^n = 1 + \frac{n!}{1!(n - 1)!} n + \frac{n!}{2!(n - 2)!} n^2 + \frac{n!}{3!(n - 3)!} n^3 + \dots + \frac{n!}{n!(n - n)!} n^n \\ = n! \{\frac{1}{0! n!} + \frac{n}{1! (n-1)!} + \frac{n^2}{2! (n-2)!} + \frac{n^3}{3! (n-3)!} + \dots + \frac{n^n}{n! (n-n)!}\} \\ \le n! \{1 + \frac{n}{1!} + \frac{n^2}{2!} + \frac{n^3}{3!} + \dots\} \\ = n! e^n$$

Espero que sea claro ahora.

Answer 2

Deje $$ a_n = \frac {(n+1) ^ n} {n}! $$ entonces $$\begin{align} a_n &=\left(1+\frac1n\right)^n\frac{n^n}{n!}\\ &=\left(1+\frac1n\right)^n\frac{n^{n-1}}{(n-1)!}\\ &=\left(1+\frac1n\right)^n\,a_{n-1}\\[9pt] &\le ea_{n-1} \end {Alinee el} $$ desde $a_1=2\lt e$, inductivamente, tenemos que $a_n\lt e^n$.

Answer 3

Para demostrar que la desigualdad, significa que tenemos que demostrar $${(n+1)^n\over n!}<e^n$ $

Because${(1+{1\over n})^n}<e$, so ${(n+1)^n\over n!}$=${(1+{1\over n})^n}$${(1+{1\over n-1})^{n-1}}$``````$2^1\over1$$1\over1!$$<e^n$

Answer 4

Aproximación de Stirling escribir $$n! \simeq \sqrt{2 \pi } e^{-n} n^{n+\frac{1}{2}}$$ Then the inequality is satisfied if $$n+1 \lt (2 \pi )^{\frac{1}{2 n}} n^{\frac{1}{2 n}+1} \simeq (2 \pi )^{\frac{1}{2 n}}[n+\frac{1}{2} \log \left(n\right)]$$ which is satisfied for any $ n \geq 1$