Prueba

Question

Utilizando la definición $$ \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}, $$ is it possible to show that $\ln e = 1$ without showing first that $\exp$ and $\ln$ are inverse functions? Here, $e$ is defined by the series $$ e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}. $$

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EDIT: Un paso intermedio útil en demostrar este resultado es $$ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e. $$ However, the usual proof of this limit by L'Hospital's rule uses the fact that $\exp$ and $\ln$ son funciones inversas. ¿Hay una prueba alternativa que no requiere la propiedad inversa?

Recuerde que estamos trabajando desde la definición de la serie $e$ anterior.

Answer 1

Tenemos $\displaystyle \ln(x)=\int_1^x \frac{dt}{t}$. Conjunto de $\displaystyle g(x)=\sum_n \frac{x^n}{n!}$. $g(1)=e$, $g'(x)=g(x)$ Y así $\ln(g(x))'=\ln'(g(x))g'(x)=\frac{1}{g(x)}g(x)=1$, por lo tanto, $\ln(g(x))=x+c$. Desde $g(0)=1$ y $\ln(1)=0$, tenemos $c=0$, por lo tanto, $\ln(g(x))=x$ y así $\ln(e)=\ln(g(1))=1$.

Answer 2

Uno puede mostrar que $e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac 1n\right)^n$ sólo usando el teorema del binomio.

1. Considere la posibilidad de $a_n = (1 + \frac 1n )^n$.

2. Por el teorema del binomio, $$\begin{align} a_n &= \sum_{0 \leq k \leq n} {n \choose k} \left( \frac 1n \right)^k \\ &= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \frac{1}{3!}(1 - \frac 1n)(1 - \frac 2n) + \ldots + \frac{1}{n!}(1 - \frac 1n)\cdots(1 - \frac{n-1}{n}). \end{align}$$

   A partir de este, es bastante fácil ver que $a_n < a_{n+1}$ $a_n < e$ usando la definición de la $e$, por lo que este límite existe.

3. Corregir algunos $m$ y tener en cuenta los términos sólo hasta el $nm$: $$ 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac 1n) + \dots + \frac{1}{m!}(1 - \frac 1n)\cdots(1 - \frac{m-1}{n}),$$ que es claramente inferior a $a_n$, y como $n \to \infty$, esto va a $$ 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{m!}.$$ Como podemos hacer esto para cualquier $m < n$, tomando los límites de $n \to \infty$ y, a continuación, $m \to \infty$ nos da ese $e \leq \lim a_n \leq e$, o que $e = \lim a_n$, que es lo que he tratado de demostrar.

Ahora vemos que esto no usar ese exponenciales y logaritmos son inversos a todos, y que completa la prueba.

Answer 3

Puede ser demostrado fácilmente (hay que añadir: utilizando solamente el teorema del binomio, cabrito gruñón) ese % $ $$e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=\lim_{k\rightarrow\infty}(1+1/k)^k$

Si usted no quiere conseguir demasiado exigente con el rigor matemático, usted acepta los siguientes pasos

$$\ln (\lim_{k\rightarrow\infty}(1+1/k)^k)=\lim_{k\rightarrow\infty}\ln ((1+1/k)^k)$$

$$ =\lim_{k\rightarrow\infty}k\ln ((1+1/k))$$ $$ =\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln ((1+1/k))}{1/k}$$ $$ =\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\ln (1+u)}{u}$$

Aplicando l ' hospital y el Teorema fundamental del cálculo

$$ =\lim_{u\rightarrow 0}\frac{1}{u+1}=1$$

Answer 4

Por la definición, tenemos $$ e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. $$ Now, applying $\ln$ both sides. $$\begin{align} \ln e &= \lim_{n \to \infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\\ \ln e&=\lim_{n \to \infty}n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right). \end {Alinee el} $$ deje $\dfrac{1}{n}=x\;\Rightarrow\; n=\dfrac{1}{x}$. $n\to\infty$, $x\to0$, Entonces $$ \ln e = \lim_ {x \to 0} \frac {\ln\left(1 + x\right)} {x}. $$ Ahora puede aplicar la regla de L'Hospital en el lado derecho. Espero que esto te sirva.

$$\\$$

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$$\Large\color{blue}{\text{# }\mathbb{Q.E.D.}\text{ #}}$$

Answer 5

Sabemos que $e= \lim_{n \to +\infty}(1+\frac 1n)^{n}$.

Considerar $\frac d{dx}(ln x)=\lim_{h \to0}\frac {ln(x+h)-ln(x)}h\ =\ lim_{h \to 0}\frac {ln(\frac {x+h}x)}h$ = $\lim_{h \to0}\frac 1hln(1+\frac hx)$

Que $u=\frac xh$ por lo tanto como $h\to 0$, $u\to \infty$. Por lo tanto tenemos

$\frac d{dx}(ln x)=\lim_{u \to +\infty}(\frac ux(ln(1+\frac 1u)))$ = $\lim_{u \to +\infty} (\frac 1x(ln(1+\frac 1u)^{u})$ = $\frac 1x lne$.

Ahora integrar ambos lados para obtener el resultado.