¿Cómo verificar si un conjunto de vectores es una base?

Question

OK, estoy teniendo un problema real con esto y estoy desesperado.

Tengo un conjunto de vectores $\{(1,0,-1), (2,5,1), (0,-4,3)\}$.

¿Cómo puedo verificar si esto es una base para $\mathbb{R}^3?$

En mi texto dice que una base $B$ para un espacio vectorial $V$ es un subconjunto linealmente independiente de $V$ que genera $V$. Bueno entonces. Necesito ver si estos vectores son linealmente independientes, ¿verdad?

Si es así, entonces para que sean linealmente independientes lo siguiente debe ser verdadero:

$a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n \neq 0$ para cualquier escalar $a_i$

¿Es este el caso o no?

Si lo es, entonces solo tengo que ver si

$a_1(1,0.-1)+ a_2(2,5,1)+ a_3(0,-4,3) = 0$

o

$a_1 + 2a_2 + 0a_3 = 0$

$0a_1 + 5a_2 - 4a_3 = 0$

$-a_1 + a_2 + 3a_3 = 0$

tiene una solución.

Sumando estas ecuaciones obtengo $8a_2 - a_3 = 0$ o $a_3 = 8a_2$ así que $5a_2 - 32a_2 = 0$ lo que me lleva a $a_2 = 0$ y eso implica que $a_1 = 0$ y $a_3=0$ también.

Entonces todos son linealmente dependientes y por lo tanto no son una base para $\mathbb{R}^3$.

Algo me dice que esto está mal. Pero estoy teniendo un gran problema para entender esto. Por favor, alguien ayuda, y pido: finjan que soy el estudiante más tonto que hayan conocido.

Answer 1

Un conjunto de vectores $v_1, v_2, ..., v_n$ es linealmente independiente si y solo si tenemos que

$$a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n = 0 \;\;$$

solo cuando $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$.

(Después de todo, cualquier combinación lineal de tres vectores en $\mathbb R^3$, cuando cada uno se multiplica por el escalar $0$, va a dar el vector cero!)

Entonces, de hecho, has demostrado independencia lineal. Y cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes en $\mathbb R^3$ abarca $\mathbb R^3$. Por lo tanto, tu conjunto de vectores es realmente una base para $\mathbb R^3$.

Answer 2

Su confusión se debe al hecho de que usted demostró que el sistema homogéneo tenía solo la solución trivial (0,0,0), y de hecho los sistemas homogéneos siempre tendrán esta solución. El criterio para la dependencia lineal es que existan otras soluciones, no triviales.

Otra forma de verificar la independencia lineal es simplemente apilar los vectores en una matriz cuadrada y encontrar su determinante; si es 0, son dependientes, de lo contrario, son independientes. Este método ahorra un poco de trabajo si así lo prefiere.

Answer 3

La forma más sencilla de comprobar si un conjunto dado $\{(a,b,c),(d,e,f),(p,q,r)\}$ de tres vectores es linealmente independiente en $\Bbb R^3$ es encontrar el determinante de la matriz, $$\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e& f\\ p&q&r \end{bmatrix}$$ sea cero o no.

Si el determinante es cero, entonces el conjunto es linealmente dependiente; de lo contrario, es decir, si el determinante es distinto de cero, es linealmente independiente. Lo cual es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones lineales, $$\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\p&q&r\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$ tiene solo la solución trivial.