Soluciones de $x(\ln x)^2=e$

Question

La solución de $x(\ln x)^2=e$ claramente es $e$, pero ¿cómo puedo demostrar que es una solución de expresiones (es decir, sin sustitución de $x=e$) y que es única?

Answer 1

$g(x)=x\log^2 x$ es una función continua y creciente en $(1,+\infty)$, como un producto de dos funciones continuas, no negativo y cada vez más en el mismo intervalo. Desde $g(1)=0$ y $\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$, el mapa entre $(1,+\infty)$y $(0,+\infty)$ de $g$ es uno a uno.

Answer 2

Sustitución de $x = e$ comprueba hacia fuera.

$f(x) = x(\ln(x))^2$ estrictamente creciente por lo que hay a lo sumo una única solución.