¿Una matriz multiplicada por su transposición es algo especial?

Question

En mis clases de matemáticas, hablamos del determinante de Gram, en el que se multiplica una matriz por su transposición.

Es $A A^\mathrm T$ algo especial para cualquier matriz $A$ ?

Answer 1

Lo principal es, presumiblemente, que $AA^T$ es simétrico. En efecto, $(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T$ . Para las matrices simétricas se tiene la Teorema espectral que dice que tenemos una base de vectores propios y cada valor propio es real.

Además, si $A$ es invertible, entonces $AA^T$ también es positiva definida, ya que $$x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)> 0$$

Entonces tenemos: Una matriz es positivo definido si y sólo si es la matriz Gram de un conjunto lineal independiente de vectores.

Por último, pero no por ello menos importante, si uno está interesado en saber en qué medida el mapa lineal representado por $A$ cambia la norma de un vector se puede calcular

$$\sqrt{\left<Ax,Ax\right>}=\sqrt{\left<A^TAx,x\right>}$$

que se simplifica para los vectores propios $x$ al valor propio $\lambda$ a

$$\sqrt{\left<Ax,Ax\right>}=\sqrt \lambda\sqrt{\left<x,x\right>},$$

El determinante es simplemente el producto de estos valores propios.

Answer 2

$AA^T$ es semidefinido positivo, y en un caso en el que $A$ es una matriz de columnas, será una matriz de rango 1 y tendrá un solo valor propio no nulo que será igual a $A^TA$ y su correspondiente vector propio es $A$ . El resto de los vectores propios son el espacio nulo de $A$ es decir $\lambda^TA = 0$ .

De hecho, independientemente del tamaño de $A$ existe una relación útil en los vectores propios de $AA^T$ a los vectores propios de $A^TA$ ; basado en la propiedad de que $rank(AA^T)=rank(A^TA)$ . Que el rango sea idéntico implica que el número de vectores propios no nulos es idéntico. Además, podemos deducir los vectores propios de $A^TA$ de $AA^T$ y viceversa. La descomposición de los vectores propios de $AA^T$ viene dada por $AA^Tv_i = \lambda_i v_i$ . En caso de que $A$ no es una matriz cuadrada y $AA^T$ es demasiado grande para calcular eficientemente los vectores propios (como ocurre frecuentemente en el cálculo de la matriz de covarianza), entonces es más fácil calcular los vectores propios de $A^TA$ dado por $A^TAu_i = \lambda_i u_i$ . Pre-multiplicando ambos lados de esta ecuación con $A$ produce

$AA^TAu_i=\lambda_iAu_i$ .

Ahora, los vectores propios buscados originalmente $v_i$ de $AA^T$ puede obtenerse fácilmente mediante $v_i:=Au_i$ . Nótese que los vectores propios resultantes aún no están normalizados.

Answer 3

Se podrían nombrar algunas propiedades, como si $B=AA^T$ entonces

$$B^T=(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T=B,$$

así que

$$\langle v,Bw\rangle=\langle Bv,w\rangle=\langle A^Tv,A^Tw\rangle.$$

Answer 4

Si se tiene un espacio vectorial real dotado de un producto escalar, y un Matriz ortogonal $A$ entonces $AA^T=I$ se mantiene. Una matriz es ortogonal si para el producto escalar $\langle v,w \rangle = \langle Av, Aw \rangle$ es válida para cualquier $v,w \in V$

Sin embargo, no veo una relación directa con el Gram-Determinante.

Answer 5

El producto $A^TA$ aparece en un papel clave en las ecuaciones normales $A^TAx=A^T b$ para resolver problemas lineales de mínimos cuadrados.