Demostrar que $e^a e^b = e^{a+b}$

Question

He leído el argumento en Rudin, pero creo que necesito una pequeña aclaración

\begin{align} e^a e^b &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{b^m}{m!}\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ n!}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!} \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a+b)^n}{n!}\\ &=e^{a+b}\\ \end{align}

Me gustaría entender cómo pasamos de la primera línea a la segunda. Por supuesto $m =n-k$ Pero, ¿cómo nos aseguramos de que no se nos ha escapado ninguna adición en el proceso de cambio de límites?

Cambio de límites: $m=0 \rightarrow n-k=0 \rightarrow k=n$ y $m=\infty \rightarrow n-k=\infty \rightarrow k=0$ , suponiendo que $n \to \infty$ .

\begin{align} \frac{b^m}{m!} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} \frac{b^{m}}{m!} \\ &=\sum_{k=0}^{?} \frac{a^k}{k!} \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \\ \end{align}

¿cómo justificar ese "?"? $=n$ ?

Answer 1

Sí, no estás pensando bien en esto. Piensa en tomar el primer cuadrante en $mk$ -espacio y llenarlo de líneas (anti)diagonales $n=k+m=\text{constant}$ . Al dejar $n$ varían de $1$ a $\infty$ , usted golpea cada $(m,k)$ .

Answer 2

Supongamos que tenemos dos series

$$p(x)=\sum_{k=1}^\infty a_kx^k$$

$$q(x)=\sum_{k=1}^\infty b_kx^k$$

Entonces, multiplicando y juntando los términos se obtiene $$(p\cdot q)(x)=a_0b_0+(a_1b_0+b_1a_0)x+(a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2)x^2+\dots \\=\sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j+i=k}a_jb_i\right)x^k\\=\sum_{k=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^k a_jb_{k-j}\right)x^k$$

Este enfoque informal en realidad funciona cuando una de las series converge y la otra converge absolutamente. Intenta ver qué ocurre cuando elegimos que las series sean las de $e^a,e^b$ .

ADD El caso de que las series no sean series de potencias, sino simplemente series simples da $$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{j = 0}^k {{a_j}} {b_{k - j}}} \right)} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{a_k}} \cdot \sum\limits_{k = 0}^\infty {{b_k}} $$

Esto da cuando $$\eqalign{ & {a_k} = \frac{{{a^k}}}{{k!}} \cr & {b_k} = \frac{{{b^k}}}{{k!}} \cr} $$ que

$$\displaylines{ {e^a}{e^b} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frac{{{a^j}}}{{j!}}} \frac{{{b^{k - j}}}}{{\left( {k - j} \right)!}}} \right)} \cr = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{k!}}\left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frac{{k!}}{{j!\left( {k - j} \right)!}}{a^j}} {b^{k - j}}} \right)} \cr = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1}{{k!}}{{\left( {a + b} \right)}^k}} \cr = {e^{a + b}} \cr} $$