Sumas y productos de números algébricos

Question

¿Cómo se hace para demostrar que las sumas y los productos de dos números algebraicos sobre un campo $F$ (es decir $a,b\in K$ donde $K/F$ es una extensión de campo) es también algebraicas?

Si llamamos a $f_a$ $f_b$ el min. poly de $a$$b$, entonces asumo que la respuesta tiene que ver con dichos polinomios. Tal vez buscando en sus raíces en la división de los campos tanto de ellos? Y la búsqueda de un "grande" de la división de campo, construida a partir de los otros dos?

En particular, me gustaría una manera de construir explícitamente el mínimo polinomios $\ f_{ab}$$ab$$f_{a+b}$$a+b$.

Leí en alguna parte que $g(x)=\Pi_j\Pi_i (x-\alpha_i\beta_j)$ trabaja para $ab$, donde el $\alpha_i$ $\beta_j$ son las raíces de $f_a$$f_b$, respectivamente, pero no sé por qué,$g(x)\in F[x]$. Similares observaciones para $a+b$

Answer 1

Lema. Si $F$ es una extensión finita de $E$, e $a\in F$, $a$ es algebraico sobre $E$.

Prueba. Deje $[F:E]=n$. A continuación, $1,a,a^2,\ldots,a^n$ son linealmente dependientes sobre $F$, de modo que existe $c_0,c_1,\ldots,c_n\in E$, no todos cero, tales que $$c_01 + c_1a + \cdots + c_na^n = 0.$$ Set $f(x) = c_0 + c_1x+\cdots+c_nx^n\in F[x]$. A continuación,$f(x)\neq 0$, e $f(a) = 0$, lo $a$ es algebraico sobre $E$. $\Box$

Lema. Deje $K$ ser una extensión de $E$, y deje $a,b\in K$ ser algebraicas sobre $F$. A continuación,$[F(a,b):F(a)]\leq [F(b):F]$.

Prueba. $[F(a,b):F(a)]$ es el grado del polinomio mínimo de a$b$$F(a)$. Desde el polinomio mínimo de a $b$ $F$ es un múltiplo de la polinomio mínimo de a$b$$F(a)$, este último tiene grado menor o igual que el anterior; el grado de la ex es igual a $[F(b):F]$, por lo que estamos por hacer. $\Box$

Corolario. Si $a$ $b$ son algebraicos sobre $F$, entonces también lo son la $a+b$$ab$.

Prueba. Revisión algebraica de cierre de $F$; $[F(a,b):F] = [F(a,b):F(a)][F(a):F]\leq [F(b):F][F(a):F] \lt\infty$. Por lo tanto, $F(a,b)$ es una extensión finita de $F$, por lo que cada elemento de a $F(a,b)$ es algebraico sobre $F$. En particular, $a+b,ab\in F(a,b)$, por lo que son algebraicos sobre $F$. $\Box$