Prueba que $\lim_{n\to\infty}{\sin{100n}}$ no existe

Question

¿Cómo probar que $$\lim_{n\to\infty}{\sin{100n}} no existe?

Algunos enfoques posibles:

1. Sería suficiente para encontrar dos subsecuencias $n_{k}$ que convergen en dos números. Pero no está claro cómo encontrar $n_k$ así que $\sin 100n_k$ convergen.

2. Mostrar que $\sin (100(n+1))-\sin 100n$ no acercarse al $0$. Esto no es obvio, tampoco.

Answer 1

Sugerencia: Usted puede utilizar el hecho de %#% $ #%

Por ejemplo suponga que $$\sin m-\sin n=2\sin\frac{m-n}{2}\cos\frac{m+n}{2}.$y que$m=n+2$.

Añadido en edición: Si el límite existe, entonces el lado izquierdo de la ecuación anterior sería cero en el límite, y así sería el lado derecho. Esto implicaría que $n\to \infty$ que es una contradicción.

Answer 2

Para cualquier $L\in\mathbb{R}$ y $N\in\mathbb{Z}_+$, usted puede encontrar algunos $n>N$ tal que $|\sin(100n) - L| > \frac{1}{2}$. Como una construcción, supongamos que $L \leq 0$ y encontrar un valor de $n$ $\frac{\pi}{6} < 100n + m2\pi < \frac{5\pi}{6}$ $m \in \mathbb{Z}$ que. (Si usted realmente necesita una construcción, usted puede escribir una fórmula para $n$ con un desorden de las funciones de la planta.) A continuación, $\sin(100n) > \frac{1}{2}$, que $|\sin(100n) - L| > \frac{1}{2}$. Mismo modo $L \geq 0$.

Por lo tanto no todos los valores de $\epsilon > 0$ pueden satisfacer el requisito de límite de $|\sin(100n) - L| < \epsilon$, por lo que el límite no existe.

Answer 3

Por definición

Cada $(a_n)$, que $(\forall n \in \mathbb{N}) (a_n\in \mathbb{D}_f) \wedge \lim_{n \to \infty}a_n = \infty$

$\lim_{n \to \infty}f(n) = g \Leftrightarrow \left (\forall \epsilon \in \mathbb{R}^{+}\right) \left (\exists \delta \in \mathbb{R}\right) \left (\forall n \in \mathbb{N}\right) \left (\geq \delta \Longrightarrow n |f(a_n) - g | \leq \epsilon\right)$$

Ahora toma $(a_n), (b_n)$ tal que $a_n = 2n\Pi \cdot\frac{1}{100} \wedge b_n = (2n\Pi + \frac{\Pi}{2}) \cdot \frac{1}{100}$ y $\epsilon = \frac{1}{4}$.