No soy de ninguna manera un físico, así que por favor disculpen los términos mal utilizados.
Tengo entendido que la Física Cuántica no obedece Lógica clásica De ahí la existencia de Lógica cuántica .
Mis preguntas son:
Si las matemáticas obedecen a la Lógica Clásica ¿cómo somos capaces de representar matemáticamente la QM?
¿Se representa la QM a través de un tipo diferente de matemáticas que obedecen a la Lógica Cuántica en lugar de la Lógica Clásica?
La formulación más elemental de la Mecánica Cuántica (la que se suele formular en espacios de Hilbert) se puede construir a partir de un entramado de todas las proposiciones elementales que se pueden probar sobre un sistema cuántico dado obteniendo, como resultado, SÍ o NO.
Esto puede hacerse de forma similar para la mecánica clásica y, en ese caso, las proposiciones elementales se describen mediante una clase de conjuntos en el espacio de fases del sistema físico, una proposición elemental $P$ es verdadero (SÍ) si el estado del sistema pertenece a $P$ en el momento considerado. Esa clase de conjuntos/proposiciones tiene que estar cerrada bajo la acción de los operadores lógicos/operaciones de conjunto. Por ejemplo $P$ Y $Q$ corresponde a $P \cap Q$ y así sucesivamente... Un estado del sistema es, de hecho, un mapa que asocia cada proposición elemental a un número en $\{0,1\}$ , donde $0$ significa NO y $1$ significa SÍ. Si en cambio el conjunto de los resultados $[0,1]$ es permisible, el estado es probabilístico, es la probabilidad de que una proposición elemental sea verdadera (es la norma, por ejemplo, cuando se trata de mecánica estadística). El hecho de que un estado es una medida de probabilidad (una medida de Dirac para estados agudos) obliga a que la clase de subconjuntos que describen las proposiciones sea una $\sigma$ -Álgebra que es una noción un poco más complicada que un Álgebra booleana .
En la mecánica cuántica se podría intentar adoptar un punto de vista similar, señalando las proposiciones elementales SÍ-NO desde cero al describir un sistema cuántico. La cuestión es que hay pares de proposiciones elementales que no pueden unirse mediante conectivas: Son las famosas propuestas incompatibles . Este es un ejemplo típico. $P=$ "la partícula tiene momento $p$ " y $Q=$ "la partícula tiene posición $q$ ". No hay nada como P Y Q en la Naturaleza. Ningún experimento físico puede asociar un valor SÍ/NO a $P$ Y $Q$ . Los físicos dicen que $P$ y $Q$ son incompatible . Aquí no se puede utilizar una estructura booleana.
Sin embargo, la situación no es tan desesperada como puede parecer a primera vista, porque existen estructuras matemáticas (entramados no booleanos) capaces de captar y describir la física de las proposiciones elementales de un sistema mecánico cuántico. De hecho, estas estructuras son isomorfas a las redes de proyectores ortogonales de los espacios de Hilbert. Los estados pueden definirse de forma similar al caso clásico, medidas de probabilidad (generalizadas), y resultan estar asociados a los vectores normalizados de los mencionados espacios de Hilbert (me refiero aquí a los llamados estados puros sólo).
La cuestión es que estas estructuras matemáticas, los entramados no booleanos, encarnan operaciones que sólo se parecen a las conectivas clásicas AND, OR, NOT, $\Rightarrow$ y así sucesivamente. Son generalizaciones de las correspondientes clásicas y se reducen a ellas cuando se trata de conjuntos de proposiciones compatibles entre sí.
Aquí surge una doble posibilidad. Uno puede ignorar este hecho y explotarlo como una oportunidad meramente técnica. Alternativamente, se puede asumir que estas pseudoconectivas son el conectivos del mundo cuántico que, en ese preciso sentido (conectivos con propiedades diferentes), satisfacen una lógica diferentes de la clásica. Esta fue la idea de von Neumann y Birkhoff, que iniciaron la primera investigación de ese mundo matemático. Hoy en día, la lógica cuántica es un área de investigación (amplia) más propia de los lógicos que de los físicos. Quiero decir que, por varias razones incluso de carácter práctico, von Neumann y Birkhoff no pudieron convencer a los físicos de que abandonaran la lógica clásica en favor de (alguna) versión cuántica.
En cualquier caso, no hay problemas en el manejo de la lógica cuántica, porque no es más que un procedimiento formal para construir enunciados cuando se dan enunciados iniciales. En este sentido, no es diferente de cualquier otra teoría formalizada matemáticamente. Podemos manejar la lógica cuántica utilizando la lógica intuitiva exactamente igual que podemos manejar alguna formalización de la lógica clásica utilizando la lógica intuitiva.
Las primeras líneas de la entrada de Wikipedia Lógica cuántica dar una impresión. Para abreviar, la esencia del ejemplo es la siguiente: Usted tiene una partícula untada en alguna caja de longitud $d$ . Si se divide $d$ en dos partes, $d_\text{Left}$ y $d_\text{Right}$ entonces "la partícula está en la unión de $d_\text{Left}$ y $d_\text{Right}$ " es verdadera por definición, mientras que "la partícula está en $d_\text{Left}$ o en $d_\text{Right}$ " es clásicamente equivalente pero no es sensible en la física cuántica.
Así, vemos que algunos aspectos de la mecánica cuántica no son directamente expresables mediante las reglas proposicionales de la lógica clásica: el lenguaje no está bien adaptado para hablar de ello directamente. Véase No primera ordenabilidad para un ejemplo completamente diferente en el que el lenguaje que le gustaría utilizar no lo consigue: "Algunos críticos sólo se admiran entre sí".
Así que, aunque existe la posibilidad de hacer una lógica cuántica que capture con precisión el sistema QM directamente, no es necesario hacerlo. Se suele pensar que las matemáticas tienen lugar en la lógica clásica, muy a menudo ampliada con axiomas sobre conjuntos (aunque a la mayoría de la gente no le importa), sólo porque es suficiente. Por ejemplo, como el conjunto $\{c,b,a,b\}$ es por definición lo mismo que el conjunto $\{a,b,c\}$ , esto no es tan adecuado para hablar de listas de cosas. Pero la gente luego sigue y definir la pareja $(x,y):=\{\{x\},\{x,y\}\}$ y definir el triple $(x,y,z):=(x,(x,z))$ y ahora tienen una noción de lista dentro de la teoría de conjuntos (no hablen nunca de la fea cosa actual " $\{\{x\},\{x,\{\{y\},\{y,z\}\}\}\}$ " a nivel de hardware). Para lo que quieras decir sobre las partículas en cajas, puede que quieras (o tengas que) utilizar el marco más cargado de valores de expectativa para las distribuciones de probabilidad y demás... Esta es una teoría escrita de forma completamente clásica. En cualquier caso, se puede escribir la mecánica cuántica en el lenguaje formal de la mecánica clásica y luego empezar a razonar sobre ella -formal o informalmente- utilizando la lógica cuántica. Es una herramienta, sea cual sea el estado en el que la quieras aplicar.
Pero también cabe destacar que la lógica cuántica no es el único lenguaje lógico no clásico con el que la gente intenta acercarse a la mecánica cuántica. Por cierto, si dices "si las matemáticas obedecen a la Lógica Clásica", entonces expresas que eres un platonista de algún tipo, o reduces a propósito el alcance de las matemáticas. Las lógicas no clásicas son cada vez más populares, diría yo. Permítanme también enlazar con mi respuesta favorita en la red StackExchange: ¿Es la lógica de primer orden la única lógica fundamental? . Y ver también este pregunta.
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