Expresando $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = r\sin(\theta - \alpha)$

Question

Mi libro explica que $a\cos\theta + b\sin\theta$ es de un seno (o coseno) gráfico con una particular amplitud/turno (es decir,$r\sin(\theta + \alpha)$) y me muestra algunos de los pasos para resolver por $r$$\alpha$:

$$r\sin(\theta + \alpha) \equiv a\cos\theta + b\sin\theta$$

$$\Rightarrow r\sin\theta\cos\alpha + r\cos\theta\sin\alpha \equiv a\cos\theta + b\sin\theta$$

Veo que el básico de identidad trigonométrica $\sin(a + b) \equiv \sin a\cos b + \sin b\cos a$ está siendo utilizado, y los coeficientes de $a$ $b$ son fácilmente identificados como:

$$r\sin\alpha = a$$ $$r\cos\alpha = b$$

A continuación, el libro de las plazas y añade las ecuaciones:

$$r^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = a^2 + b^2 \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Veo que la identidad básica de $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \equiv 1$ se utiliza aquí.

Todos los ejemplos en el libro de involucrar a $r$ ser una cantidad positiva.

Un ejercicio que me pide para expresar $\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta$ en la forma $r\sin(\theta - \alpha)$. He intentado esto y se topó con problemas como el cuadrado y el cuadrado proceso de enraizamiento sólo produce un positivo $r$, pero la respuesta es $-2\sin(\theta - \frac{1}{6}\pi)$.

Mis trabajos:

$\cos\theta - \sqrt{3}\sin\theta = r\sin(\theta - \alpha) = r\sin\theta\cos\alpha - r\sin\alpha\cos\theta$

$\Rightarrow r\cos\alpha = -\sqrt{3}$, $r\sin\alpha = -1$

$\Rightarrow r^2\cos^2\alpha = 3$, $r^2\sin^2\alpha = 1 => r^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 4$

$\Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = \pm2$.

Mi pregunta es ¿cómo debe el proceso en el libro ser refinado por lo que uno sabe si $r$ debe ser positivo o negativo?

(lo siento si es un poco largo de explicar para una pregunta básica pero pensé que muestra lo que hago y no sé que podría conseguir que me de una respuesta dirigida a mi nivel simple!).

Answer 1

La respuesta es que depende de la opción de $\alpha$. Esto es porque $\sin (x + \pi) = - \sin x$ (también si estaba usando en su lugar, $\cos$ $\cos (x + \pi) = - \cos x$). Esto significa que puede ser positivo o negativo, pero entonces puede necesitar reducirse $\alpha$ $\pi$

Answer 2

En su caso concreto tiene o $$\sin\alpha = \frac{1}{2}\text{ and } \cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ for } r=2$ $ $$\sin\alpha = -\frac{1}{2}\text{ and } \cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ for } r=-2$$ o % en el primer caso tiene $\alpha=\frac{5\pi}{6}$, y en el segundo caso te $\alpha=-\frac{\pi}{6}$. (Yo uso la función $r\sin(\theta + \alpha)$ con un signo positivo de $\alpha$). Tienes que tener cuidado cuando $\alpha$ porque generalmente simplemente no puede tomar la rama de principio de la funciones $\arcsin(x)$ y $\arccos(x)$. Tienes que elegir un valor que satisface ambas ecuaciones (la $\sin(\alpha)$) y el $\cos(\alpha)$.