[página 167] el concepto de maximality, aunque no el nombre, surgió como una clara noción sólo con Hausdorff de investigación, de 1907, en conjuntos ordenados de funciones reales. En particular, se aplica el Bien de Ordenar el Teorema de establecer
la existencia de un pantachie, es decir, un conjunto maximal de un valor real de secuencias de
ordenados de acuerdo a la secuencia, finalmente, fue mayor.
Cuando Hausdorff dio una segunda prueba de este resultado, dos años más tarde, él
basado en un nuevo conjunto teórico teorema de la que se deduce de la buena Ordenación Teorema.
Hausdorff del teorema de no recibir la atención que merece.
Cuando regresó a ella en su libro de texto sobre la teoría de conjuntos [1914], describió
en dos variantes, cada uno de los que más tarde fue denominado Hausdorff Máxima del
Principio. Sin embargo, es importante darse cuenta de que, a pesar de que el nombre que más tarde se
dado a ellos, él no tenía intención alguna de estas variantes, como un axioma o un
principio:
(3.4.2) Cada conjunto parcialmente ordenado $M$ tiene un subconjunto ordenado $A$ que es
mayor [$\subseteq$-máxima] entre ordenó subconjuntos de a $M$.
(3.4.3) Cada conjunto parcialmente ordenado $M$ tiene un subconjunto ordenado $A$ que es
mayor [$\subseteq$-máxima] entre ordenó subconjuntos y también incluye a $B$,
dado un subconjunto ordenado de $M$. [1914, páginas 140-141]
Hausdorff, que se deduce de las dos variantes del Axioma de Elección, no
intento de mostrar su equivalencia. Tampoco se aplican a ellos para obtener
otros resultados. Como su predecesor, estos dos teoremas atraído
poca atención por parte de Hausdorff de sus contemporáneos. Como consecuencia, la máxima
los principios fueron descubiertos de forma independiente en varias ocasiones, la más importante
casos que ocurren en los artículos por Kazimierz Kuratowski [1922] y Max
Zorn [1935].
[página 220] Cuando la segunda edición de Hausdorff del Grundzuge aparecido en 1927,
él considera que tales formulaciones, una vez más. Allí se introdujo por primera
el término de "máxima establecida" (Maximalmenge) para describir lo que aquí se llama
una $\subseteq$-elemento maximal, es decir, un miembro de la $B$ de una familia de conjuntos tales que a $B$ no se encuentra debidamente incluido en cualquiera de los miembros de la familia. En esa ocasión declaró un máximo de principio, y su correspondiente principio de mínima, por medio de transfinito ordinales [...]. Por lo tanto, su máxima y la mínima principios tomó la siguiente forma:
(4.4.1) Si $A$ es un no-vacío familia de conjuntos y es prorrogable por encima de los límites, a continuación, $A$ contiene un Maximalmenge [$\subseteq$-elemento maximal] $B$.
(4.4.2) Si $A$ es un no-vacío familia de conjuntos y es prorrogable por debajo de los límites, a continuación, $A$ contiene un Minimalmenge [$\subseteq$-mínimo elemento] $B$. [1927, página 174]
Aunque el joven Varsovia matemático Kazimierz Kuratowski, había
establecido un principio de mínima de cinco años antes, en 1927 Hausdorff
permaneció inconsciente de Kuratowski del principio. Finalmente, Hausdorff mencionado
que (4.4.1) podría ser utilizado para obtener una proposición deducida anteriormente en su
libro de la buena Ordenación Teorema: En cada espacio métrico $X$ y para
todos los reales positivos $r$, hay un $\subseteq$-máxima subconjunto $Y$ $X$ tales que la distancia entre dos puntos en $Y$ al menos $r$. Con toda probabilidad, él no sospecha que (4.4.1) o (4.4.2) fue equivalente al Axioma de Elección].
Hausdorff, se cree que estos dos teoremas se pudo demostrar sólo por
los medios de transfinito ordinales [1927, 173], [...] sin embargo, Hausdorff estaba equivocado, ya que Kuratowski había demostrado que era uno de esos principios, mediante el Axioma, pero no los números ordinales, en el estilo de Zermelo la segunda prueba de la buena Ordenación Teorema.
[página 223] topologist R. L. Moore, [1932] publicó un volumen sobre los cimientos de punto-establecer la topología, y basa su tratamiento en los postulados que contiene los términos indefinidos "punto" y "región". Al principio de su libro, él discutió el Axioma de Elección, declaró como Zermelo había hecho en 1908, que Moore incluido "entre las propuestas fundamentales de la lógica de clases". Mucho más tarde en su libro, él estableció un teorema que fue, en efecto, un principio de mínima [1932,84]:
(4.4.5) Supongamos $G$ es un [no-vacío] la familia de conjuntos. Si, para cada subcolección $H$ $G$ ordenado por la inclusión, hay algunos $A$ $G$ tal que $A \subseteq B$ por cada $B$$H$, a continuación, algunos miembros de la $M$ $G$ no tiene ningún subconjunto en $G$ [es decir, $M$ $\subseteq$- mínimo].
Sin embargo, no van a obtener alguna de las consecuencias de la (4.4.5), que él
había deducido a partir de la buena Ordenación Teorema.
Finalmente, el Lema de Zorn, la máxima principio que se ha convertido en el más
ampliamente conocido y sobre cuyos orígenes que son los mejor informados, fue publicado en 1935:
(4.4.6) Si $A$ es una familia de conjuntos tales que la unión de toda la cadena de $B \subseteq AB$$A$, entonces no es un miembro de la $C$ $A$ que no es un subconjunto de cualquier miembro de $A$ [es decir, $C$ $\subseteq$- máxima].
En contraste a los matemáticos descritos hasta el momento, Max Zorn no
respecto (4.4.6) como un teorema, sino como un axioma. Él llamó el "principio del máximo" y sinceramente esperaba que reemplazaría el buen orden
Teorema de álgebra abstracta. [...] Evidentemente Zorn no estaba familiarizado con el anterior máximo de principios. Muchos años más tarde reconoció haber leído [Kuratowski 1922], pero dijo no haber notado ningún máxima principio no. Sin embargo, podemos preguntarnos si Kuratowski influenciado Zorn (como Hausdorff bien podría haber influido en Bochner) de modo subliminal.
¿Cuáles fueron los inicios de Zorn del principio? De acuerdo a su posterior
reminiscencias, se formuló por primera vez en Hamburgo, en 1933, donde Claude
Chevalley y Emil Artin, a continuación, tomó así. De hecho, cuando Zorn aplicada
para obtener los representantes de ciertas clases de equivalencia en un grupo,
Artin reconoció que Zorn el principio de los rendimientos del Axioma de Elección. Por
a finales de 1934, Zorn principio se había encontrado a los usuarios en los Estados unidos que doblada
es el Lema de Zorn. En octubre, cuando Zorn enseñado, en su principio, que la
American Mathematical Society en Nueva York, Solomon Lefschetz recomendado que Zorn publicar su resultado. El papel apareció el siguiente año.
