¿Quién desarrolló la integral de trayectoria del espacio de fase?

Question

La integral de trayectoria original introducida por Feynman es $$ \lim_{N\to +\infty} \int \left\{\prod_{n=1}^{N-1} \frac{\mathrm{d}q_n}{\sqrt{2 \pi i \hslash \varepsilon}} \right\} \exp\left[{\frac{i}{\hslash} \varepsilon \sum_{n=1}^N \frac{1}{2}\dot{q}_n^2 - V(\overline{q}_n) }\right]; $$ Sin embargo, muchos libros (Kleinert, Zinn-Justin, Sakita, etc.) muestran también la derivación de una integral de trayectoria en el espacio de fase $$ \lim_{N\to +\infty} \int \left\{\prod_{n=1}^{N-1} \mathrm{d}q_n\right\} \left\{\prod_{n=1}^{N} \frac{\mathrm{d}p_n}{2\pi\hslash}\right\} \exp\left[{\frac{i}{\hslash} \varepsilon \sum_{n=1}^N p_n \frac{q_n - q_{n-1}}{\varepsilon} - H(\overline{q}_n, p_n)}\right] $$ sin mencionar quién introdujo por primera vez este objeto.

He escrito una tesis que utiliza mucho esta última integral del camino, y me gustaría dar crédito al descubridor original de la misma; desafortunadamente, no puedo encontrar quién es. Mi asesor cree que el primer artículo en el que apareció fue en los años sesenta.

¿Alguien tiene alguna pista sobre quién fue el primero en desarrollar este camino integral?

Answer 1

La introducción del libro de Chaichan y Demichev 2001 Integrales de trayectoria en física: Volumen I Procesos Estocásticos y Mecánica Cuántica estados:

La noción de integral de la trayectoria (a veces también llamado integral funcional o integral sobre las trayectorias o integral sobre las historias o integral continua ) fue introducido, por primera vez, en la década de 1920 por Norbert Wiener (1921, 1923, 1924, 1930) como método para resolver problemas en la teoría de la difusión y el movimiento browniano. Esta integral, que ahora también se llama Integral de Wiener ha desempeñado un papel fundamental en el desarrollo del tema de la integración de trayectorias.

Fue reinventado en una forma diferente por Richard Feynman (1942, 1948) en 1942, para la reformulación de la mecánica cuántica (la llamada ' tercera formulación de la mecánica cuántica" además de las de Schrödinger y Heisenberg). El enfoque de Feynman se inspiró en el artículo de Dirac (1933) sobre el papel del lagrangiano y el principio de mínima acción en la mecánica cuántica. Esto llevó a Feynman a representar el propagador de la ecuación de Schrödinger mediante la integral de trayectoria de valor complejo que ahora lleva su nombre. A finales de la década de 1940, Feynman (1950, 1951) elaboró, sobre la base de las integrales de trayectoria, una nueva formulación de la electrodinámica cuántica y desarrolló la conocida técnica del diagrama para la teoría de perturbaciones.

Así que la noción de integral de trayectoria se remonta a la física no cuántica, pero la de física cuántica se debe a Feynman a finales de los años 40. La primera fórmula corresponde a la idea original de Feynman de que la amplitud es $$K(x',x'',T) = \sum_{x(0)=x', x(T) = x''} \exp(i S[x(t)])$$

Es decir, se podría construir una formulación completamente independiente de la mecánica cuántica y preguntarse después por la compatibilidad con las formulaciones habituales.

La segunda fórmula es la que se obtiene de la imagen de Heisenberg o Schrödinger de la mecánica cuántica y se puede llegar a la primera fórmula "Feynman" (o una similar) sólo bajo la suposición de un Hamiltoniano con una energía cinética cuadrática (se puede entonces integrar la $p$ en una integración gaussiana como comenta Alex A). Sin embargo, esto no significa que la primera fórmula sea "menos general", sólo significa que las formulaciones podrían no ser compatibles en tal caso.

Hay algunas sutilezas en la ambigüedad entre el formalismo del operador y las integrales de trayectoria que también contribuyen a la discusión de los hamiltonianos especiales - este tema fue ampliamente discutido por Qmechanic en esta pregunta .

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EDITAR : Me acabo de dar cuenta de que no estoy respondiendo realmente a tu pregunta. Usted pregunta quién fue el primero en publicar la segunda fórmula. He intentado buscarlo, pero nadie parece dar crédito.

La razón podría ser la siguiente: El derivación de la segunda fórmula requiere tres ideas clave: regularización de la red (integral de Riemann), inserción de la $\int {\rm d} q |q \rangle \langle q|$ operador de identidad, y separando el entramado aún más en la parte de momento y posición e insertando el $\int {\rm d} p |p \rangle \langle p|$ identidad.

La idea de insertar una base de $q$ s en el propagador junto con una regularización de la red ya se introdujo en la discusión del principio de acción cuántica en la obra de Dirac Principios en 1933. Por otro lado, Feynman utilizó la regularización reticular desde el otro extremo de la derivación en 1948. Utilizando la $p$ -El truco de la inserción para terminar la derivación esbozada por Dirac y ya ejecutada por Feynman desde el otro lado es un paso original, pero no exactamente un avance.

Por lo tanto, si se encuentra por primera vez en un artículo o un libro de texto, probablemente no será el principal resultado presentado, o tal vez ni siquiera uno claramente proclamado. Por lo tanto, no respondo a su pregunta, sólo doy un comentario.

Answer 2

La respuesta es probablemente Feynman, en su artículo de 1951 "An Operator Calculus Having Applications in Quantum Electrodynamics" (Phys. Rev. 84,108 1951); véase en particular el Apéndice B de ese artículo.