¿Caracteriza esta compacidad?

Question

Recordemos que una colección de conjuntos de $\mathcal{A}$ tiene la intersección finita de la propiedad si para todas las finito $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ sostiene que $\bigcap \mathcal{B} \neq \emptyset$.

En términos de la intersección finita de la propiedad, podemos definir a la compacidad de la siguiente manera.

Definición. Un espacio topológico $X$ es compacto iff cualquier colección de cerrado los subconjuntos de a $X$ con la intersección finita de la propiedad ha vacío intersección.

Ahora personalmente, mi intuición acerca de esta definición es bastante mediocre, por lo que permite deducir más intuitivo teorema de la definición anterior.

En primer lugar, parte de la terminología. Para cualquier colección de conjuntos de $\mathcal{A}$, permite llamar a $\mathcal{A}$ anidada iff para todos los $A,B \in \mathcal{A}$ sostiene que $A \subseteq B$ o $B \subseteq A$. Además, permite decir que el $\mathcal{A}$ es de condensadores de iff $\emptyset \notin \mathcal{A}$.

A continuación, cada anidada sin conexión a tierra de la colección necesariamente satisface la intersección finita de la propiedad.

Prueba. Deje $\mathcal{A}$ el valor de un entramado de condensadores de colección y supongamos $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ tiene cardinalidad finita. A continuación, $\mathcal{B}$ hereda anidados y ungroundedness. Por lo tanto $\mathcal{B}$ está anidado y finito, por lo $\bigcap \mathcal{B}$ es igual a la menor elemento de a $\mathcal{B}$. Por lo tanto $\bigcap \mathcal{B} \in \mathcal{B}$. Pero desde $\mathcal{B}$ está aislado, se deduce que el $\bigcap \mathcal{B} \neq \emptyset$.

Así obtenemos el siguiente teorema.

Teorema. Si un espacio topológico $X$ es compacto, entonces anidadas sin conexión a tierra de la colección de subconjuntos cerrados de $X$ tiene intersección no vacía.

Mi pregunta es, ¿ el recíproco de la declaración anterior?

Answer 1

Sí. La pregunta también puede ser formulado con bloques abiertos y, en su lugar. Y también podemos simplificar al tomar la contraposición. Además, anidada familias son comúnmente conocidos como cadenas.

Un espacio de $X$ es compacto iff para cada cadena de abrir conjuntos de $\{U_i\}$ que cubre $X$ tenemos $X=U_i$ algunos $i$.

Prueba. "$\Rightarrow$" es clara. "$\Leftarrow$": Suponga que el $\{U_i\}$ es de unos abra la cubierta de $X$ que no tiene un número finito de subcover. Podemos asumir que se está indexado por algunos límite ordinal $\alpha$. Elija $\alpha$ a ser mínima. El abierto de subconjuntos $\cup_{i<\beta} U_i$ $\beta<\alpha$ formar una cadena de subconjuntos abiertos que cubren $X$. Por lo tanto, hay algo de $\beta<\alpha$$\cup_{i<\beta} U_i=X$. A continuación, $\{U_i\}_{i<\beta}$ es una portada que no tiene un número finito de subcover. Esto contradice la minimality de $\alpha$. QED

Más en general, vamos a $P$ ser cualquier completos de orden parcial. Llame a $x \in P$ compacto iff $\sup_{i \in I} u_i=x$ implica que el $\sup_{i \in F} u_i=x$ para un subconjunto finito $F \subseteq I$. A continuación, $x$ es compacto iff para cada cadena de $\{u_i\}$ $P$ $\sup_{i \in I} u_i = x$ tenemos $u_i = x$ algunos $i$.

Answer 2

El papel de Un lexema en directo y conjuntos de cadenas por Bruns responde a esta pregunta. (Ver Aplicación 1 en la segunda página).

Véase también el Problema de H de p. 163 de Kelley General de la Topología, que le da a este como un (bastante difícil) ejercicio.

Tenga en cuenta que todas estas pruebas se basan en el Axioma de Elección o de una de sus equivalentes (bien el pedido, el lema de Zorn, la máxima principio). De hecho, si mi razonamiento a continuación es correcta, entonces este teorema también implica el Axioma de Elección y por lo tanto es equivalente a ella.

La idea es imitar a esta prueba que el teorema de Tychonoff implica el Axioma de Elección.

Utilizando la notación de la prueba, que el argumento parece ir a través de si usted utiliza un poco diferente de la topología en $X_i$, es decir, uno donde hay exactamente dos vacío abierto apropiado conjuntos, $A_i$$\{i\}$. Es sencillo comprobar que el espacio del producto tiene la propiedad de que dado cualquier cadena de abrir establece que cubre el producto, uno de los conjuntos debe ser igual a la del producto. Por lo tanto el producto es compacto. Ahora, proceda como en la prueba que el teorema de Tychonoff implica el Axioma de Elección.