En problema de límite básico: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{\sin x}$

Question

Considere la posibilidad de $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{\sin x}$. La respuesta es $1$. Esto es intuitivamente claro desde $\tan x ≈ x$ pequeña $x$. ¿Cómo se puede mostrar este rigurosamente? En general, no tiene que $\lim_{x \to p} \frac{f(g(x))}{f(x)} = 1$ si $g(x) - x \to 0$$x \to p$.

No hay técnicas avanzadas como la serie o de L'Hôpital. Este es un ejercicio de una sección de un libro de texto que sólo se presupone que el límite básico de las leyes y la continuidad de los compuestos de funciones continuas.

Este debería ser un problema simple, pero me parece estar atascado. He probado varios métodos, incluyendo las $\epsilon-\delta$, pero no voy a llegar a ninguna parte. La composición, me parece, se opone a que algebraicas simplificación.

Answer 1

$$\frac{\sin(\tan x)}{\sin x} = \frac{\sin(\tan x)}{\tan x} \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{\sin(\tan x)}{\tan x}\frac{1}{\cos x}.$$

$x\to 0, \tan x \to 0,$ Por lo tanto, la fracción primera de la derecha $\to 1.$ también sabemos $\cos x \to 1,$ por lo que la fracción de segundo en la derecha $\to 1.$ el límite es, por tanto, $1\cdot 1 = 1$

Answer 2

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)}=\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)/x} \cdot \dfrac{1}{x} = \lim_{x \to 0}\dfrac{\sin(\tan(x))/\tan(x)}{\sin(x)/x} \cdot \dfrac{\tan(x)}{x}\text{.}$ $ Ahora $$\lim_{x \to 0}\sin(\tan(x))/\tan(x) = \lim_{\tan(x) \to 0}\sin(\tan(x))/\tan(x) = 1\text{,}$ $ $$\lim_{x \to 0}\sin(x)/x = 1$ $ y se pueden utilizar este (o cualquiera de las otras respuestas si no has cubierto derivados) para mostrar $$\lim_{x \to 0}\tan(x)/x=\sec(0) = 1\text{.}$ $

Answer 3

Recordar que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y que $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$. Que $u = \sin x$\begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{\sin x}{\cos x})}{\sin x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}})}{\sin x}\\ &= \lim_{u \to 0} \frac{\sin \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}}{\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\\ &= 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 0}} = 1 \end {alinee el}

Answer 4

¿$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan x)}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan x)}{\sin x}\cdot\frac{\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sec x\sin(\tan x)}{\tan x}$ $ Puede tomar desde aquí?

Answer 5

Aquí presentamos una solución que se basa en (i) la enseñanza primaria de las desigualdades de la geometría y (ii) el teorema del sándwich.

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NOTA: Primero nos tenga en cuenta que $\frac{\sin(\tan (x))}{\sin(x)}$ es una función par de $x$ y, por lo tanto, si el lado derecho del límite de $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(\tan (x))}{\sin(x)}$ existe, entonces el límite de $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\tan (x))}{\sin(x)}$ existe. El análisis siguiente se centra, por tanto, en el establecimiento de la derecha del límite.

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En primer lugar, recordemos de la escuela elemental de la geometría que la función seno satisface las desigualdades

$$x\cos(x)\le \sin(x)\le x \tag 1$$

para $0\le x\le \pi/2$. De $(1)$ es fácil ver que

$$x\le \tan(x)\le \frac{x}{\cos(x)} \tag 2$$

para $0\le x<\pi/2$. El uso de $(1)$$(2)$, podemos escribir para $0<x<\arctan(\pi/2)$

$$\cos(\tan(x))\le \frac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)}\le \frac{1}{\cos^2(x)} \tag 3$$

Finalmente, aplicando el teorema del encaje a $(3)$ rendimientos

$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)}=1$$

con lo cual la explotación de la uniformidad de la $\frac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)}$ establece el codiciado límite

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(\tan(x))}{\sin(x)}=1}$$

Herramientas Utilizadas:

• Las desigualdades en $(1)$ $(2)$
• El Teorema Del Sándwich
• La continuidad del coseno y de la tangente funciones para $|x|<\pi/2$