Dominios simplemente conectados.

Question

Si $U$ $U'$ dos dominios en $\Bbb C$, e $f$ ser un homeomorphism en $U$ $U'$ dominio $U$ es simplemente conectado $\iff$ $U'$ simplemente se conecta. He encontrado este problema en el análisis complejo. Así que me gustaría saber su prueba de complejos punto de vista, más bien, usando topológico de proposiciones. Gracias.

Hay algunas propiedades que son equivalentes para un dominio $D$ en el plano Complejo.

a)$D$ es simplemente conectado.

b)para cada $z_0\in \Bbb C$\ $D$ hay una analítica de la rama de $log(z-z_0)$ definido en $D$.

c)El complemento de $D$ en la ampliación del complejo de avión $\Bbb C^*$ está conectado.

Answer 1

Vamos a utilizar el criterio de Riemann para el complejo simplemente espacios conectados.

Deje $U$ ser simplemente conectado y $f$ ser biholomorphic.

Sólo tenemos que probar que si $g:U'\to \Bbb C$ holomorphic con $g(z)\neq 0$ por cada $z$, entonces no es un holomorphic $g_1:U'\to \Bbb C:g(z)=g_1^2(z)$ por cada $z$.

Vamos a permitir que una holomorphic función de $g$.La composición de la $gof:U\to \Bbb C$ es holomorphic y $gof(w)\neq 0$ por cada $w$. Debido a $U$ es simplemente conectado ,hay un holomorphic $h:U\to \Bbb C:gof(w)=h^2(w)$ por cada $w\in U$.

Deje $hof^{-1}:U'\to \Bbb C$. Entonces es holomorphic y para cada $z\in U'$ tenemos que $(hof^{-1}(z))^2=(h(f^{-1}(z))^2=g(z)$ por cada $z$.

Answer 2

Lo que dices es cierto solo por escribir la definición de homeomorphism y la definición de simplemente conectado esencialmente. Simplemente se conecta es una propiedad topológica, y homeomorphisms permiten la transferencia de propiedades topológicas entre los espacios.

Lo complejo análisis que hace maravillosamente, es para mostrar que cualquiera de los dos simplemente se conecta adecuada subconjuntos del plano son homeomórficos. Esto es realmente un resultado no trivial, y el mapeo de Riemann teorema resuelve de una forma espectacular: en la prueba de los mucho más fuerte que quedan biholomorphic!

Answer 3

La pregunta es bastante raro, la idea de simplemente estar conectados es una noción topológica y la propiedad que usted está pidiendo es mucho más simple que el análisis complejo. Si $U$ $U'$ son homeomórficos , entonces cualquier noción topológica en $U$ puede ser llevado a $U'$ por el homeomorphism.

Para tu pregunta, esto puede tomar la siguiente forma. Suponga que $U$ es simplemente conectado. Elija un punto de $y$ $U'$ y tomar un bucle $\gamma(t)$ con base punto de $y$$U'$. A continuación, $f^{-1} \circ \gamma(t)$ es un bucle en $U$ con base punto de $x = f^{-1}(y)$. Desde $U$ es simplemente que está conectado, tiene un homotopy $F(s,t)$ $f^{-1} \circ \gamma$ a la constante bucle basado en $x$. A continuación, $f \circ F(s,t)$ es un homotopy de $\gamma$ a la constante bucle basado en $y$.

Answer 4

Esto me parece una increíble exageración para utilizar el mapeo de Riemann teorema de aquí. Tal vez usted puede utilizar el siguiente teorema:

Deje $U$ ser conectado a un subconjunto abierto de $\mathbf C$. A continuación, $U$ es simplemente conectado a si y sólo si para cada holomorphic función de $g$ $U$ y cada camino cerrado $C$ en $U$, $\int_C g(z) dz = 0$.

Entonces, bajo el supuesto de que $U$ es de uso $f$ y el cambio de las variables de la fórmula para demostrar que el mismo criterio se sostiene en $U'$.

(Por supuesto, la verdadera razón es puramente topológico uno: dos homeomórficos espacios isomorfos fundamentales de los grupos. Sólo estoy dando esta extraña solución ya que insisten en evitar la "topológico" argumentos.)