¿Cuántos grupos finitos (hasta isomorfismo) es abeliano?

Question

El conjunto de grupos no-abelian finitos y el conjunto de grupos abelianos finitos tienen la misma cardinalidad?

¿En ese caso, es posible definir a algún tipo de densidad de grupos finitos y calcular la densidad de grupos abelian no abelianos finitos dentro del conjunto de todos los grupos finitos?

Answer 1

Considere el caso de finito $p$, $p$ una prima fija. El número de clases de isomorfismo) abelian $p$-grupos, con el fin de $p^n$ es igual al número $\operatorname{Part}(n)$ de las particiones de $n$. Para este número contamos con la expresión asintótica (directamente de la Wikipedia) $$ \operatorname{Parte}(n) \sim \frac {1} {4n\sqrt3} \exp\left({\pi \sqrt {\frac{2n}{3}}}\right) \mbox { como } n\rightarrow \infty $$

Ahora el Higman-Sims estimar el número de (isomorfismo clases de) $p$-grupos, con el fin de $p^n$ es $$ \exp\left(\log(p) \left(\frac{2}{27} + O(n^{-1/3})\right) n^3\right), $$ y si no me equivoco, abelian grupos son más bien escasos aquí.

Por otro lado, la Higman-Sims estimación se basa en el hecho de contar grupo de nilpotence clase dos.