En Qing Liu, la Geometría Algebraica y Aritmética de Curvas, página 116, ejemplo 4.1.8, uno ha $\mathcal{O}_K$ discreta valoración anillo con uniformizing parámetro $t$, $P\in\mathcal{O}_K[S]$ una Eisenstein polinomio en $t$ (luego irreductible), $\mathcal{O}_L:=\mathcal{O}_K[S]/(P(S))$ (luego la integral de dominio) y con la notación $s=\overline{S}$ ha $L=\mathrm{Frac}(\mathcal{O}_L)=K[S]/(P(S))=\bigoplus_{0\leq i\leq n-1} s^i K$.
A continuación, queremos demostrar que, con $\nu_L\left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i s^i\right)=\mathrm{min}\{n\nu_K(\alpha_i)+i,i=0,\ldots,n-1\}$, $\mathcal{O}_L$ es el discreto valoración anillo de $L$.
Yo estoy bien con $\nu_L(x+y)\geq\mathrm{min}\{\nu_L(x),\nu_L(y) \}$.
Yo estoy bien con $\nu_L(x)\geq0\iff x\in\mathcal{O}_L$.
Yo estoy bien con surjectivity en $\mathbb{Z}$ si puedo probar el siguiente punto.
Pero para $\nu_L\left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i s^i \sum_{j=0}^{n-1}\beta_j s^j\right)=\nu_L\left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i s^i\right)+\nu_L\left(\sum_{i=0}^{n-1}\beta_i s^i\right)$ I no puede encontrar porque como $\nu_L$ sólo se define en la forma $\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i s^i$ el calcul de $\nu_L\left(\sum_{i=0}^{n-1}\alpha_i s^i \sum_{j=0}^{n-1}\beta_j s^j\right)=\nu_L\left(\sum_k\left(\sum_{i+j=k}\alpha_i+\beta_j\right)s^k\right)$ es demasiado difícil para mí (porque de la $s^ k$, $k\geq n$).
Tal vez con una fórmula para $\nu_L$ no sólo con el restringido $\sum_0^{n-1}\alpha_i s^i$?
Tal vez un clásico truco para simpllifying la $s^k, k\geq n$?
