Relación entre dos nociones de $BG$

Question

Lo siguiente es algo que siempre me ha molestado un poco. Normalmente pienso en pilas sobre esquemas, así que estoy un poco fuera de mi elemento—pido disculpas si digo algo tonto abajo.

Sea $G$ un grupo topológico suficientemente (por ejemplo, puedes asumir un grupo de Lie) y sea $\mathsf{Spaces}$ la categoría de espacios topológicos equipados con la obvia topología de Grothendieck (es decir, las coberturas son coberturas abiertas clásicas). Entonces tenemos en $\mathsf{Spaces}$ la pila habitual $BG$ de $G$-torsores.

¿Cuál es la relación entre la pila $BG$ y el espacio $BG$? Por supuesto, la pila $BG$ no es representable (está valuada en groupoids de una manera no equivalente a una pila valuada en conjuntos) pero se puede considerar su pila de componentes $\pi_0BG$ (que asigna a $X$ clases de isomorfismo de $G$-torsores). Ahora que tenemos una pila valuada en conjuntos, es concebible que esto sea representable, pero, por supuesto, no lo es—ni siquiera es un haz en $\mathsf{Spaces}$.

Dicho esto, $\pi_0 BG$ está 'representado' en la categoría de homotopía en el sentido de que

$$BG(X)=[X,BG]$$

lo cual, después de todo, es algo.

Entonces mi pregunta general es: ¿cuál es realmente la relación rigurosa? ¿Cómo se generaliza?

Algunas subpreguntas relacionadas son: ¿debería/puede uno pensar en una topología en la categoría de homotopía de espacios? Si es así, ¿son los espacios haces allí, y se puede decir literalmente, en tal configuración, que $BG$ (como espacio hasta homotopía) es simplemente $\pi_0 BG$ (como 'pila en la categoría de homotopía').

¡Gracias!

EDITAR: Solo para dar una idea, en la teoría de pilas sobre esquemas, se puede pensar en $BG$ como la pila asociada al groupoid en esquemas

$$G\overset{\longrightarrow}{\xrightarrow{\text{ }}}\ast$$

quizás, en el mismo formalismo, ¿se puede hacer esto como un groupoid en espacios? Entonces, ¿$BG$ como espacio está tomando este cociente no en la categoría de pilas (es decir, la stackificación del prehaz de groupoid obvio) sino tomando el cociente en espacios? Por supuesto, hay que tener cuidado ya que uno tiene que interpretar $\ast$, en dicho contexto, como un espacio contractible con una acción libre de $G$ (por ejemplo, $EG$). No sé cómo encajan todas estas cosas de manera rigurosa.

Answer 1

Me parece que la conexión entre las dos nociones de $B G$ es más o menos el tema de [Moerdijk, Classifying spaces and classifying toposes]. En lugar de intentar comparar directamente el espacio $B G$ y el stack $B G$, se puede intentar comparar sus "representaciones", o más precisamente, los (superior) topos respectivos de (superior) haces.

Primero discutiré el caso de un grupo discreto $G$. Los dos topos a comparar son $\mathbf{Sh} (B G)$, el topos de haces en el espacio $B G$, y $\mathcal{B} G$, el topos de $G$-conjuntos. El topos $\mathcal{B} G$ tiene una propiedad universal con respecto a topos: considerando a $G$ como un $G$-conjunto bajo la acción regular, para todo topos de Grothendieck $\mathcal{E}$, $f \mapsto f^* G$ es una equivalencia entre la categoría de morfismos geométricos $\mathcal{E} \to \mathcal{B} G$ y la categoría de $G$-torsors en $\mathcal{E$. En particular, tenemos un morfismo geométrico de comparación $\mathbf{Sh} (B G) \to \mathcal{B} G. Además, como es bien sabido, esta es una equivalencia de homotopía débil (en el sentido de Artin y Mazur): esto significa que los dos topos tienen grupos fundamentales y grupos de cohomología isomorfos con respecto a coeficientes localmente constantes. Esa es una forma en la que el espacio $B G$ y el stack $B G$ representan el mismo $\infty$-grupoide (o, si prefieres, tipo de homotopía). Por supuesto, hay mucho más en la cohomología de topos que solo coeficientes localmente constantes, pero eso desaparece al pasar a $\infty$-grupoide.

El caso de un grupo topológico $G$ es considerablemente más complicado; después de todo, ¿cuál debería ser el análogo de $\mathcal{B} G? Si nos mantenemos con 1-toposes ordinarios, no es bueno mirar el topos de $G$-conjuntos (= conjuntos con una acción continua de $G): si $G$ está conectado, entonces la única posible acción continua de $G$ en un conjunto es la trivial. Idealmente, $\mathcal{B} G$ debería ser el límite de homotopía del diagrama cosimplicial $\mathbf{Sh} (B_\bullet G)$, donde $B_\bullet G$ es la construcción simplicial de barra de $G$, sea lo que sea $\mathbf{Sh}$ en este contexto. Esto básicamente dice que $\mathcal{B} G$, considerado como un tipo de espacio generalizado, es el colímite de homotopía del espacio simplicial $B_\bullet G$, también considerado como un diagrama de espacios generalizados. Por otro lado, el espacio $B G$ es el colímite de homotopía del espacio simplicial $B_\bullet G$ considerado como un diagrama de $\infty$-grupoide. Por lo tanto, parece que debería ser fácil compararlos, pero desafortunadamente $\mathbf{Sh}$ no es (usualmente) un funtor de $\infty$-grupoide: después de todo, los espacios $X$ e $Y$ pueden ser homotópicamente equivalentes sin que $\mathbf{Sh} (X)$ y $\mathbf{Sh} (Y)$ sean equivalentes.

Para ser concreto, supongamos que $\mathbf{Sh} (X)$ es el $\infty$-topos de $\infty$-haces en $X$. Hay una subcategoría plena $\mathbf{LC} (X) \subseteq \mathbf{Sh} (X)$ de $\infty$-haces localmente constantes, y cuando $X$ es bastante agradable (creo que localmente contractible es suficiente), $\mathbf{LC} (X)$ es equivalente a la categoría rebanada $\infty \mathbf{Grpd}_{/ X}$. En ese caso, el límite de homotopía de $\mathbf{LC} (B_\bullet G)$ es de hecho $\mathbf{LC} (B G)$. Por otro lado, el límite de homotopía de $\mathbf{Sh} (B_\bullet G)$ es el $\infty$-topos $\mathcal{B} G$ de $\infty$-haces equivariantes en $G$. Por supuesto, los objetos localmente constantes en $\mathcal{B} G$ son aquellos cuyo $\infty$-haz subyacente en $G$ es localmente constante, por lo que la subcategoría completa de $\infty$-haces de $\mathcal{B} G$ abarcada por los objetos localmente constantes es equivalente a $\mathbf{LC} (B G). Entonces esta es una forma precisa en la que la diferencia entre el espacio $B G$ y el stack $B G$ corresponde a la diferencia entre los haces localmente constantes y los haces generales.

Answer 2

Parece difícil evitar hablar de $\infty$ aquí, porque cada vez que refinas las clases de homotopía a homotopías, descubres que lo que el espacio $BG$ representa está un nivel alejado de lo que hace el stack. Entonces, si piensas en $BG$ en la categoría enriquecida en grupoides de espacios con mapas y clases de homotopía de homotopías entre ellos, el stack aún no es representable porque las homotopías homotópicas de mapas en $BG$ no inducen el mismo isomorfismo de haces de retroceso, inducen isomorfismos homotópicos. Pero si llegas a $\infty$, entonces el stack $BG$ tiene un valor $BG(X)$ en todo el espacio de módulo de fibras principales $G$ en $X$. Y este es exactamente el espacio de mapeo $[X,BG]$, al menos para $X$ un espacio suficientemente bueno. Lo único que se interpone en el camino de que esto funcione maravillosamente en el lenguaje relativamente clásico de categorías enriquecidas topológicamente es que es un poco tonto pensar en $BG$ como un haz real de espacios, pidiendo que todas las isomorfismos de descenso sean identidades. Por lo tanto, es realmente un $\infty$-stack, pero esa es solo la versión natural homotópicamente sensata de un haz de espacios.

Supongo que también puedes hacer tu idea de cociente stacky, pero $BG$ es el cociente de homotopía de $*$ por $G$, y no estoy seguro de qué decir sobre la conexión entre los stacks topológicos y los colímites de homotopías, de hecho estaría interesado si alguien más me lo dijera. El cociente de homotopía, por cierto, no es una noción demasiado vanguardista, está en categorías modelo y derivadores, así como en $\infty$-categorías, y tiene una propiedad universal muy elemental.