¿Cómo utilizar llanura aquí?

Question

Deje $X\to S$ ser un esquema.

Definición: Una relación eficaz divisor de Cartier en $X/S$ es un cerrado subscheme $D\subset X$ de manera tal que el ideal de la gavilla $I$ $D$ es invertible y $D\to S$ plano.

Vamos ahora a $T\to S$ ser otro esquema sobre $S$ y denotan por $X_T$ el fibrado producto $X\times_S T$. He leído en un papel lo siguiente:

Reclamo: Vamos a $D$ ser un pariente eficaz divisor de Cartier en $X_T/T$ $p:T'\to T$ ser arbitraria $S$-mapa de esquemas. A continuación, el pullback $p^*_{X_T}(I)$ es el ideal de la gavilla de la $T'$-plano cerrado subscheme $D_{T'}\subset X_{T'}$. Por lo tanto $D_{T'}$ es una relación eficaz divisor de Cartier en $X_{T'}/T'$.

Puede usted por favor me ayudan a demostrar la afirmación? En particular, el autor dice:

Desde $D$ $T$- plana, $p^*_{X_T} (I)$ es igual a el ideal de la $D_{T'}$

Y no entiendo por qué.

Answer 1

Bien creo yo realmente tengo ahora! Una buena manera de demostrar la anterior afirmación es el uso de un resultado básico acerca de la pureza:

El functor $\square\otimes_A B$ es exacta si y sólo si cada secuencia exacta corta de a $A$-módulos de acabar con $B$ es puro

Recuerdo que una corta secuencia exacta de $A$-módulos es puro, si se mantiene exacta cuando tensored con cualquier $A$-módulo. $\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}$ $\newcommand{\SES}[3]{0\to #1 \to #2 \to #3 \to 0}$

Vamos a trabajar afín a nivel local, con $$ T=\Spec(R), \quad T'=\Spec(R'), \quad X_T=\Spec(S), \quad X_{T'}=\Spec(S') $$ y deje $I\subset X_T$ a ser el ideal de $D$ $I'$ el ideal de la $D'=p^*{D}$.

La curvatura de la mapa de $D\to T$ es equivalente a la functor $\square\otimes_R S/I$ exacto. Por el resultado anterior, esto implica que cada secuencia exacta corta de a $R$-módulos de acabar con $S/I$ es puro. En particular, la secuencia de $D$ $$ \SES{I}{S}{S/I} $$ es puro. Por lo tanto tensoring con cualquier $R$-módulo de hojas es exacta y, en particular, $$ \SES{I\otimes_R R'}{S\otimes_R R'}{S/I\otimes_R R'} $$ es exacto. Desde la secuencia anterior se puede reescribir como $$ \SES{p^*I}{S'}{S'/I'} $$ podemos deducir que $p^*I = I'$, como se desee.