Resolver

Question

Resolver $x^3 +1 = 2y^3$ en números enteros.

(La pregunta original era resolver $x^n +1 = 2^{n-2} y^n$ pero aun no puedo resolver caso particular $n=3$.)

Gracias de antemano.

Answer 1

He aquí un esbozo de lo que me gustaría hacer.

En lugar de considerar la ecuación de $x^3 + 1 = 2y^3,$ me gustaría ver en la ecuación

$$(-x)^3 + 2y^3 = 1.$$

Ahora lo que dice es que los pares de $(x,y)$ que resolver la ecuación están en correspondencia uno a uno con los elementos de la forma $-x + \sqrt[3]{2}y$ $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ norma $1$ $\mathbb{Q}$ donde$x,y\in \mathbb{Z}.$, por Lo que todas las soluciones pueden obtenerse examinando el grupo de unidades del anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$

Nota de Dirichlet de la unidad teorema $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})}^{\times} \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}.$ Además, la parte libre de este grupo de la unidad es isomorfo a los elementos de la norma $1.$ Ahora el problema es fácil.' Encontrar una primitiva de la unidad para este grupo de la unidad y a examinar los poderes de rendimiento de los elementos de la forma deseada. Buena suerte!

Answer 2

Sólo he incorporado recientemente a las Matemáticas en SÍ, así que no vea la pregunta cuando originalmente publicado.

Si $x^3 + 1 = 2y^3$ $1 (= 1^3), y^3, x^3$ están en progresión aritmética. Sin embargo, Y. Hellegouarch, en Introducción a la Matemática de Fermat-Wiles (traducción al inglés, Academic Press 2002) afirma lo siguiente en la página 342:

Dene Conjetura: sea p un extraño prime. Si los tres natural distinto de cero enteros $x^p, y^p, z^p$ mentira en una progresión aritmética, entonces x = y = z.

Se afirma en la página 343 de que esta conjetura ha sido probado por Garmon Y Merel. La referencia es la siguiente (la cual no he visto): Garmon H. y Merel L., Bobinado de cocientes y algunas variantes de último teorema de Fermat J. Reine Angew. Matemáticas 490 81-100, 1997.

Esto implica que la ecuación anterior no tiene no trivial de la solución en los enteros positivos, y más en general de ese $x^3 + z^3 = 2y^3$ no tiene no trivial de la solución en los enteros positivos. Parecería sin embargo, para dejar abierta la posibilidad de una solución con la negativa de x y de y.

Addendum: Me doy cuenta de que el Garmon Y Merel resultado no es necesario demostrar que las $x^3 + z^3 = 2y^3$ no tiene no trivial de la solución en los números enteros. La imposibilidad es demostrado en el Capítulo 2, en la página 79 de Sierpinski Teoría Elemental de los Números que he encontrado puede ser consultado en http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=42&wyd=10. Esto cubre el caso de la negativa de x y de y también.

Answer 3

Mordell, Diophantine Ecuaciones, Capítulo 23, Teorema 5 (página 203): Si $d$ es un número entero, $d\gt1$, hay un entero solución de $x^3+dy^3=1$ otros de $x=1$, $y=0$.

También, en el Capítulo 24, Teorema 5 (página 220): La ecuación $x^3+dy^3=1$ ($d\gt1$) tiene más de un número entero con la solución de $xy\ne0$. Este está dado por la unidad fundamental en el anillo cuando es un binomio de la unidad, es decir, cuando la unidad fundamental de la toma la forma $x+y\root3\of d$.

Ambas pruebas son bastante largos, y tener un poco de conocimiento de la Teoría Algebraica de números. Tal vez hay algunos primaria truco que no estoy viendo para el manejo del caso $d=2$.

Answer 4

Una prueba clásica de Euler: http://books.google.es/books?id=mqI-AAAAYAAJ&hl=es&pg=PA234#v=onepage&q&f=false