forma sencilla de mostrar $|| \partial_x \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y) dy||_{\infty} = O(||f||_{\infty})$ $\mathbb{R}^3$

Question

Nos ponemos en $\mathbb{R}^3$. Deje $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ $C^1_0$ función, es decir, continuamente diferenciable con soporte compacto. Deje $\epsilon > 0$ ser pequeño. Necesito mostrar que la derivada $$ || \partial_x [\int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y)dy] ||_{\infty}$$ de esta función integral existe y puede ser delimitada desde arriba por un número constante de veces $||f||_{\infty}$$\epsilon \rightarrow 0$. Podemos tomar cualquier $\infty$ norma que queremos para la derivada, estamos diferenciación de una función de $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$, por lo que la derivada es una matriz, pero podemos tomar por ejemplo supremum más de sus entradas, por lo que $$ \max_{i \in \{1,2,3\}} | \partial_{x_i} [\int_{B(x,\epsilon)} \frac{x_1 - y_1}{|x-y|^3} f(y)dy] |$$ por ejemplo (o algo más si es más fácil, pero supongo que no debería diferir mucho). Quiero demostrar que esta cantidad puede ser delimitada desde arriba por $C ||f||_{\infty}$$\epsilon \rightarrow 0$. Yo simplemente no puede empujar la derivada en y decir que $\partial_x \frac{x-y}{|x-y|^3} \approx |x-y|^{-3}$ debido a que no me deja concluir - $|x-y|^{-3}$ no es integrable en torno a $0$$\mathbb{R}^3$. Yo estaba pensando acerca de empujar la derivada en el interior de computación y de forma explícita utilizando esférica coordiantes pero hay dos problemas: en primer lugar parece realmente complicado y prefiero evitarlo y el uso de un simple argumentos si es posible, y en segundo lugar - que todavía habría que argumentar por qué me puede empujar a la derivada en el interior. Cualquier sugerencias son bienvenidas.

edit: cuando pienso en ello me imagino una diferencia real cociente cuando considero dos de la esfera centrada en $x$ $x +h$ y creo que yo podría cuidar de la parte superpuesta por 'emparejamiento' los puntos con los factores de $f(y)$$f(y+h)$, teniendo supremum de $\nabla f$ y la integración - que van de la a $0$ $\epsilon \rightarrow 0$ y espero que las partes que no iba a llegar a la par con cualquier cosa tendrá medir suffiently pequeño (para que las integrales son comparables con $|h|$) por lo que puede utilizar la $||f||_{\infty}$ sujeto allí, pero estoy teniendo un tiempo difícil la escritura hacia abajo

Edit: mi más precisa aunque todavía incompleta trate. Me muestran cómo obligado el derivado suponiendo que existe:

ok, después de todo parece ser que no es tan difícil, que me pone un poco nerviosa, así que sería genial si alguien podría señalar un error que podría haber hecho. Supongo que la única parte difícil es mostrar que la función es de hecho diferenciable - si supiéramos que es suficiente para mostrar que $$ \frac{1}{|h|} | \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y) dy - \int_{B(x + h,\epsilon)} \frac{x+h-y}{|x+h-y|^3} f(y) dy| \leq C \epsilon$$ para algunas constantes $C$. un cambio de variables $y = y-h$ en la segunda integral da $$ \frac{1}{|h|} | \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y) dy - \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y+h) dy|$$ es decir, $$ | \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} \frac{f(y) - f(y+h)}{|h|} dy | \leq \int_{B(x,\epsilon)} \frac{1}{|x-y|^2} ||\nabla f||_{\infty} dy \leq C ||\nabla f||_{\infty} \epsilon$$ debido a $\int_{B(x,\epsilon)} \frac{1}{|x-y|^2} = C \epsilon$, por lo tanto toda la cosa va para $0$$\epsilon$. Sin embargo, todavía necesitamos saber que es diferenciable

sin embargo, el papel que estoy leyendo dice claramente que estamos obligados por un número constante de veces $||f||_{\infty}$ que me confunde ya que si yo sabía que era diferenciable se podría decir que tiende a $0$ $\epsilon$ y si no sé si es diferenciable, entonces realmente no puedo hablar de la delimitación de la derivada

edit2: vale, veo que me salió mal - tengo el mal área de integración después de mi cambio de variables. Yo todavía creen que a pesar de que si yo sabía que la derivada existe podía sustituir el segundo (el mal) integral $$ \int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y+h) dy| $$ con $$ \int_{B(x,\epsilon - 2|h|)} \frac{x-y}{|x-y|^3} f(y+h) dy|$$ plus some remainder which would then lead to a bound involving $||f||_{\infty}$, pero necesitamos la diferenciabilidad hacerlo de todos modos.

Answer 1

No te puedo dar una solución completa, pero tal vez el siguiente pensamientos son útiles para usted:

Mediante el cambio de variables $z = x-y$, se puede volver a escribir la función original de la siguiente manera:

$$ F(x) := \int_{B(x,\varepsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3} \cdot f(y) \, dy = \int_{B(0,\varepsilon)} \frac{z}{|z|^3} \cdot f(x-z) \,dz . $$

Utilizando el hecho de que $x \mapsto f(x-z)$ es (continua) diferenciable y que $z \mapsto \frac{z}{|z|^3} \chi_{B(0,\varepsilon)}(z) \in L^1$, se puede concluir (utilizando el estándar de teoremas), que $F$ es de hecho derivable con derivada

$$ \partial_i F(x) = \int_{B(0,\varepsilon)} \frac{z}{|z|^3} (\partial_i f)(x-z) \,dz. $$

El uso de este, también puede derivar $\Vert \partial_i F \Vert_\infty \lesssim \Vert \partial_i f\Vert_\infty$, que es estrictamente más débil que su objetivo de estimar.

Pero también tenga en cuenta que el cálculo anterior incluso implica

$$ \Vert \partial_i F(x) \Vert_\infty \leq \int_{B(0,\varepsilon)} \frac{1}{|z|^2} \, dz \cdot \Vert \partial_i f\Vert_\infty \xrightarrow[\varepsilon \rightarrow 0]{} 0. $$ Por lo tanto, si usted está interesado sólo en el caso de $\varepsilon \rightarrow 0$, este debe producir lo que quiera :)

Una de las cosas que usted puede probar ahora (aunque no he podido hacer que funcione, pero yo no trato muy duro) es escribir

$$ \partial_i F(x) = \lim_{\delta \downarrow 0} \int_{B(0,\varepsilon) \setminus B(0,\delta)} \frac{z}{|z|^3} (\partial_i f)(x-z) \, dz $$

y, a continuación, utilizar la integración parcial (es decir, el teorema de la divergencia) para pasar sobre la derivada en $f$$\frac{z}{|z|^3}$. Nota aquí, que

1. No habrá límite de términos.
2. No se puede hacer lo mismo sin el límite, porque el $\frac{z}{|z|^3}$ no es suave en el origen y (peor aún) la derivada no es integrable en una vecindad del origen.

Finalmente, podría ser útil para saber donde se encuentra la instrucción. El contexto tal vez podría indicar que el método a utilizar.

Answer 2

Tenemos que

$$ \begin{align} \partial_x\int_{B(x,\epsilon)} \frac{x-y}{|x-y|^3}f(y)dy & \approx \partial_x\frac{1}{|B(x,\epsilon)|}\int_{B(x,\epsilon)}(x-y)f(y) \\ &\leq \lim_{\epsilon->0}\frac{1}{\epsilon}\frac{1}{|B(x,\epsilon)|}\int_{B(x,\epsilon)}|\epsilon f(y)|dy\\ &=lim _{\epsilon->0}\frac{1}{|B(x,\epsilon)|}\int_{B(x,\epsilon)}| f(y)|dy \end{align} $$

La primera igualdad de $\approx$ mantiene porque: $|B(x,\epsilon)|$ es el volumen de la bola centrada en $x$ radio $\epsilon$.
$|B(x,\epsilon)|=4/3\pi \epsilon^3\approx |x-y|^3$ desde $y\in B(x,\epsilon)$ definición de derivados se pueden encontrar aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_differentiation_theorem

El ineuqlity $\leq$ mantiene, ya que por definición de derivada, la derivada con respecto al $x$ se define a ser$\partial_x g(x)=lim_{\epsilon->0}g(x)$$g:\mathbb{R^3}->\mathbb{R}$, ya que el $\mathbb{R}$ es una dimensión. Y también se $|x-y|\approx \epsilon$ por lo tanto, dos $\epsilon $ se cancelan el uno con el otro.

Por la fuerte versión de Hardy-Littlewood teorema, http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_maximal_functionEl resultado se mantiene.

Es este el mejor momento?