Un ejercicio PDE de Gilbarg Trudinger. problema 2.2

Question

Demostrar eso si $\Delta u=0$ $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ y $u=\partial u/\partial\nu=0$ en un abierto suave porción de $\partial \Omega$, $u$ es idénticamente cero.

Encontré una prueba aquí, pero no estoy seguro si es la prueba correcta. ¿Alguien tiene alguna idea? Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Una forma muy rápida (y acertadas) la prueba puede ser determinado mediante la aplicación de John general del teorema de Holmgren, que es discutido por ejemplo, en el PDE, los libros de texto por Jeffrey Rauch y Fritz John.

Tengo otro, el enfoque más directo, pero antes de ir más lejos, yo os recomiendo encarecidamente que lea la respuesta a pieza por pieza, y hacer un intento de completar la solución en cada salto. (Recuerdo haber pasado mucho tiempo en este problema).

La idea inicial es similar a la de la entrada de blog que está conectado, sino que procede de manera diferente. Trabajamos en un pequeño conjunto abierto $\omega$ que se divide en dos partes por la suave parte de la frontera, y ampliamos $u$ cero por fuera del dominio. Queremos mostrar que $u$ es armónica en $\omega$, que sería entonces implica que $u\equiv0$ por analiticidad. Las condiciones de frontera asegurarse de que $u$ $C^1$ función en $\omega$. Se sabe que $u\in C^1(\omega)$ es armónica en $\omega$ fib $$ \int_{\partial B}\partial_\nu u = 0, $$ para todos lo suficientemente pequeño cerrado bolas $B$ $\omega$ donde $\partial_\nu$ es normal en el derivado (es algo así como el valor medio de la propiedad, pero funciona con derivados de $u$). Esta propiedad se satisface para todos los pequeños de bolas que no centrada en $\omega\cap\partial\Omega$. Por lo que asumimos $B\subset\omega$ es una bola cuyo centro está en $\omega\cap\partial\Omega$. En este caso, tenemos $$ \int_{\partial B}\partial_\nu u = \int_{\partial B\cap\Omega}\partial_\nu u, $$ debido a $u=0$ fuera de $\Omega$. Ahora recordemos que para un dominio acotado $U$ con seccionalmente suave límite, y para una función de $f$ $C^2$ $U$ $C^1$ en un barrio de $\overline U$, $$ \int_{U} \Delta f = \int_{\partial U} \partial_\nu \,f. $$ Aplicamos esta con $U=B\cap\Omega$ $f=u$ a la conclusión de que $$ \int_{\partial B\cap\Omega}\partial_\nu u = \int_{\partial( B\cap\Omega)}\partial_\nu u = 0. $$