Integral definida que incluye el logaritmo del coseno

Question

¿Alguien conoce la procedencia o la respuesta a la siguiente integral

$$\int_0^\infty\ \frac{\ln|\cos(x)|}{x^2} dx $$

Gracias.

Answer 1

La respuesta de Lucian está muy bien (como siempre), pero de $$ \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2 x}\tag{1}$$ para cualquier $x\in(-\pi,\pi)$ también se deduce que: $$ I = \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\log\cos^2 x}{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\log\cos x}{\sin^2 x}\,dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\log(1+t^2)}{t^2}\,dt$$ sustituyendo $x$ con $\arctan t$ en el último paso. La integración por partes conduce ahora a: $$ I = -\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2} = \color{red}{-\frac{\pi}{2}}.\tag{2}$$ Alguien puede preguntar ahora: Cómo probar $(1)$ ?

Pues bien, para ello se parte del producto de Weierstrass para la función seno: $$\frac{\sin z}{z}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right)$$ entonces considera el logaritmo de ambos lados y diferéncialo dos veces con respecto a $z$ .

Answer 2

Una pista: Dejemos que $I(n)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{1-\cos^{2n}x}{x^2}~dx.~$ Demuestre primero que $I(n)=n\pi~\dfrac{\displaystyle{2n\choose n}}{4^n}~,~$ entonces evalúa $I'(0)$ .

Answer 3

Esta integral es igual a $$ \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\ln (\cos^2 x)}{x^2} dx = \frac{1}{2}(-\pi) = -\frac{\pi}2$$

El lugar más fácil de recordar para ver esto es Gradshteyn y Ryzhik, donde aparece como integral definida 4.322.6. La fuente citada allí es Fikhtebgik'ts, G. M. ( http://en.wikipedia.org/wiki/Grigorii_Fichtenholz en Wikipedia) en el libro Kurs differntsial'nogo i integral'ogo ischizdat, Vloume 2, página 686.

El libro aparece en la página de WP. Citando la descripción de la Wiki, "los libros de Fichtenholz sobre análisis son muy utilizados en las universidades de Europa del Este y China debido a su excepcionalidad de presentación detallada y bien ordenada del material sobre análisis matemático. "

Si esto es un ejemplo de contenido en una clase de introducción al cálculo, creo que me alegro de que no se haya traducido al inglés para que yo lo haya leído como estudiante.