Deje $x$ ser un número positivo y $X_n$ ser un valor real submartingale tal que $X_0 = x$. Estoy interesado en los límites superiores en la probabilidad de $$ \psi(x) = \mathsf{P}_x\left\{\inf\limits_{n\geq 0}X_n \leq 0\right\}. $$
Para discutir esta cuestión con cualquier de los supuestos gusta - tal vez, no demasiado estricto.
Una de mis ideas era la siguiente. Si $Y_n = \frac{1}{X_n}$ es un supermartingale, a continuación, Doob la desigualdad puede ser utilizado: $$ \mathsf{P}_y\left\{\sup\limits_{n\geq 0}Y_n \geq N\right\}\leq \frac{y}{N}, $$ pero aquí tenemos que tener $Y$ un no-negativos proceso, que no es nuestro caso.
Editado: La formulación de Doob la desigualdad [Shirjaeva: Probabilidad, p. 492]. Si $Z$ es un supermartingale, a continuación, $$ \mathsf P\{\sup\limits_{n\geq 0} |Z_n|\geq \delta\}\leq\frac{C}{\delta}\sup\limits_{n\geq 0} \mathsf E[|Z_n|] $$ para algunos $C\leq 3$.
Si $Z$ es un valor no negativo supermartingale, a continuación, $C$ puede ser tomado igual a $1$ y la expectativa sobre el lado derecho alcanza su máximo en el momento en el momento en $n=0$. Que conduce a la desigualdad a la que he formulado en la primera versión de la pregunta.
Con respecto al paseo aleatorio: no estoy muy seguro de en que la declaración, ya que para el Lundberg la desigualdad existe un límite. Más precisamente, si la caminata aleatoria está dada por $$ X_n = X_{n-1}+A_n $$ donde $A_n$ son yo.yo.d. tal que $\mathsf E A_n >0$ y no existe $r>0$ tal que $\mathsf E\mathrm e^{-rA_1} = 1$,$\psi(x)\leq \mathrm e^{-rx}$.
Acabo finalmente se enfrentó a esa desigualdad de Matemáticas Financieras, y me pregunto si no se conocen los límites para la supermartingales (desde $X_n$ es un supermartingale en el último ejemplo) - no tienen que ser exponencial de curso.
P. S. me puse esta pregunta también aquí: http://mathoverflow.net/questions/68509/bounds-for-submartingale
