No puedo ver cómo encontrar una manera de demostrar que si $H$ es un subgrupo de $G$ tal que el producto de dos derecha cojunto de $H$ es también un coset derecho de $H,$ $H$ es normal en $G.$
(Esto es por el camino del Herstein).
Gracias.
Respuestas
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Sugerencia: si $HaHa^{-1}$ $Ha^{-1}Ha$ son derecho cosets deben ser $H$ debido a que contienen la identidad.
(He actualizado mi sugerencia para involucrar tanto a $HaHa^{-1}$ $Ha^{-1}Ha$ porque $aHa^{-1}\subseteq H$ no es por sí mismo equivalente a $aHa^{-1}=H$ al $H$ es infinito; ver contraejemplos aquí, aquí, aquí.)
Jonik
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A (no tan) breve prueba alternativa:
Si $HaHb=Hc$ y $HaHb=Hab$. @anon es corto prueba elige $b=a^{-1}$, pero usted puede también elegir $b=1$, desde $$HaH = Ha \iff 1aH \subseteq Ha$ $
Por supuesto para conseguir la igualdad, también tenemos que usar %#% $ #%
En general, $$Ha^{-1}H =Ha^{-1} \iff a^{-1} H \subseteq Ha^{-1} \iff Ha \subseteq aH $, así que si queremos $HaHb=Hab \iff aHb \subseteq Hab$ elegimos $aH=Ha$ y si queremos $b=1$ elegimos $aHa^{-1}= H$. Si los grupos son finitos, incluso tenemos que prestar atención a $b=a^{-1}$ $\subseteq$.
