La existencia de una solución de la EDO $y^{\prime}=f(y,t)$ donde $f(y,t)$ no está definida en el valor inicial.

Question

Considere una ecuación diferencial separable $$y^{\prime}=f(y,t)$$ con solución inicial $y(t_0)=y_0$. Supongamos que $f(y_0,t_0)$ no está definida. ¿Existe un teorema que se pueda usar para demostrar la existencia y la unicidad de la solución de esta Ecuación Diferencial?

El problema es que $f(y_0,t_0)$ no está definida (mucho peor que una discontinuidad donde aún podemos usar el teorema de existencia de Carathéodory)

Por ejemplo, una ecuación diferencial separable $y^{\prime}=\frac{1}{y-1}+2$ con solución inicial $y(0)=1$.

Answer 1

Creo que lo que buscas es el concepto de solución débil, que se utiliza precisamente para dar sentido a ecuaciones diferenciales sin tener que preocuparse por puntos individuales en el dominio. Puedes consultar intuición detrás de la solución débil , https://en.wikipedia.org/wiki/Weak_solution La idea es usar la formulación integral de la ecuación, que en tu caso es: \begin{equation} y(t)-y(t_0)=\int^t_{t_0}f(s,y)d s \end{equation} si estás dispuesto a adoptar esto como una definición de tu solución entonces puedes prescindir de la suposición C1 e incluso de la "definición" de la función en un conjunto de medida cero.

Answer 2

La respuesta es no. Al menos no hay una solución definible, porque, según la definición, una solución del IVP $$ y'=f(t,y), \quad y(t_0)=y_0, $$ es una función $C^1$ $\psi$ que está definida en un intervalo abierto $I$, con $t_0\in I$, y que satisface tanto la condición inicial como la EDO, es decir, $$ \psi(t_0)=y_0\,\,\,\text{y}\,\,\,\psi'(t)=f\big(t,\psi(t)\big), $$ para todo $t\in I$. La satisfacción de la EDO implica que $$ \big(t,\psi(t)\big) \in D, \quad \text{para todo $t\in I$}, $$ donde $D$ es el dominio de definición (y continuidad) de $f$. Por lo tanto $(t_0,y_0)\in D$.