fibrados vectoriales sobre curvas elípticas

Question

Deje$F$ sea un paquete del vector estable de grado$d$ y el rango$r$, con$(r,d)$ primos entre sí y$X$ una curva elíptica. Sé que puedo construir una extensión$$0 \to H^0(F) \otimes O_X \to G \to F \to 0 $ $ de tal manera que el mapa de los límites de la secuencia de largo asociado en cohomología está dada por$Id: H^0(F) \to H^0(F)$. Ahora sabemos que G es un paquete del vector de la fila$r+d$ y el grado$d$. Lo que me gustaría hacer es demostrar que$G$ es estable (aquí tengo problemas), porque me dejará proceder por inducción con el cálculo de$M(r,d)$.

Answer 1

edit: me imagino, ya que dicen que hay un inducida por la LES, en los que media la secuencia es exacta. Nota: hay un isomorfismo entre U(r,d) y U(r+d,d) dada por 4.9 que está dando la extensión (la prueba no el isomorfismo de partida de la otra dirección, sin embargo). En cualquier caso, suponiendo que esta es la forma de conseguir la extensión, $G$ es indecomposable. Ahora un indecomposable vector paquete en una curva elíptica es estable iff $(r,d)=1$ 4.19. Ahora desde $(r,d) = 1$,$k | (r + d) \implies (k, r) = (k, d) = 1$, por lo que cualquier divisores de $\ r + d$ no se puede dividir $\ d$ $(r + d, d) = 1$