ecuación de transformación conforme

Question

Actualmente estoy leyendo el libro de la teoría de cuerdas de Kiritsis, y algo bichos en el capítulo CFT (cuarto). Se deriva la ecuación que debe satisfacer una transformación conforme infinitesimal$$x^{\mu} \rightarrow x^{\mu} + \epsilon^{\mu}(x) which is \partial_{\mu}\epsilon_{\nu}+\partial_{\nu}\epsilon_{\mu} = \frac{2}{d}(\partial . \epsilon)\delta_{\mu\nu} from g_{\mu\nu}(x)\rightarrow g'^{\mu\nu}(x')=\Omega(x)g_{\mu\nu}(x)=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\nu}}g_{\alpha\beta}(x). que he estado tratando de hacer eso con ningún éxito, ¿hay una hipótesis adicional oculto que me falta, o estoy simplemente malo con las matemáticas?

Answer 1

La cantidad de $\partial_\mu \epsilon_\nu +\partial_\nu\epsilon_\mu$ es sólo la variación de la métrica $g_{\mu\nu}$ bajo (infinitesimal) diffeomorphism usted escribió, $x^\mu\to x^\mu+\epsilon^\mu$. Su ecuación dice $$\partial_\mu \epsilon_\nu +\partial_\nu\epsilon_\mu = C \delta_{\mu\nu}$$ para algunos $C$, lo que significa la condición de que la variación de la métrica en virtud de la diffeomorphism es proporcional a la tv de fondo métrica (en la conformación de calibre) para que pueda ser compensada por un Weyl escala de la métrica por algunos $\Omega(x)$. La ecuación anterior es de hecho equivalente a la suya, porque uno puede calcular el $C$ (relativa a la $\Omega-1$ que es infinitamente pequeño, como $\epsilon$). Solo rastro de mi ecuación anterior sobre $\mu=\nu$ y consigue $2\partial\cdot \epsilon$ en el lado izquierdo y $Cd$ sobre el lado derecho, lo que implica $C=2(\partial\cdot\epsilon)/d$, al igual que su ecuación dice.

La transformación de la regla de la métrica, $\delta g_{\mu\nu} = \partial_\mu \epsilon_\nu +\partial_\nu\epsilon_\mu$, puede ser calculada a partir de su $g\to g'$ regla. Sólo Taylor-ampliar su fórmula $g'=()()g$ con respecto al $\epsilon$ hasta los lineales en términos de $\epsilon$. El uso de la regla de Leibniz – que se producen dos términos en la variación, uno de los primeros a $()$ y uno de la segunda, y el hecho de que ese $\partial x^{\prime\mu}/\partial x^\nu = \delta^\mu_\nu + \partial_\nu \epsilon^\mu$ que es el derivado de la $x'=x+\epsilon$ y que es la forma de conseguir cada término en el simétrico suma.

Answer 2

Esta es una vieja cuestión, pero en caso de que alguien todavía está interesado, voy a señalar una pequeña modificación para que la discusión anterior. La variación general de la métrica debe administrarse como $\delta g_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} \epsilon_{\nu} + \nabla_{\nu} \epsilon_{\mu}$ donde $\nabla_{\alpha}$ denota una derivada covariante. Esto es debido a que la variación se debe tomar en cuenta no sólo la métrica de la transformación de la fórmula, pero el hecho de que el punto en el que se basa la métrica se desplaza. Es decir, suponga que su infinitesimal de transformación de coordenadas es

$x'^{\mu} = x^{\mu} - \epsilon^{\mu}(x)$.

A continuación, queremos calcular la variación de la métrica

$\delta g_{\alpha \beta} (x) = g'_{\alpha \beta} (x) - g_{\alpha \beta} (x)$

y tenemos la métrica de la transformación de la fórmula

$g'_{\alpha \beta} (x') = \frac{\partial x^{\rho}}{\partial x'^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x'^{\beta}} g_{\rho \sigma} (x)$

así como la expansión de Taylor (de primer orden) de $g'_{\alpha \beta} (x')$:

$g'_{\alpha \beta} (x') = g'_{\alpha \beta} (x^{\mu} - \epsilon^{\mu}) = g'_{\alpha \beta} (x) - \partial_{\mu} g'_{\alpha \beta} \epsilon^{\mu}$.

Así

$\delta g_{\alpha \beta} (x) = g'_{\alpha \beta} (x) - g_{\alpha \beta} (x) = g'_{\alpha \beta} (x') + \partial_{\mu} g'_{\alpha \beta} \epsilon^{\mu} - g_{\alpha \beta} (x) = \frac{\partial x^{\rho}}{\partial x'^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x'^{\beta}} g_{\rho \sigma} (x) - g_{\alpha \beta} (x) + \partial_{\mu} g'_{\alpha \beta} \epsilon^{\mu} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \partial_{\alpha} \epsilon^{\rho}g_{\rho \beta} + \partial_{\beta} \epsilon^{\sigma} g_{\alpha \sigma} + \partial_{\mu} g'_{\alpha \beta} \epsilon^{\mu} = \nabla_{\alpha} \epsilon_{\beta} + \nabla_{\beta} \epsilon_{\alpha}$.

Los dos primeros términos de la siguiente y último paso son los mismos que los indicados en la discusión anterior (es decir,$\partial_{\alpha} \epsilon_{\beta} + \partial_{\beta} \epsilon_{\alpha}$). El tercer término es adicional y es lo que hace que los derivados actualizarse de coordinar a covariante derivados.

(Referencia: GR conferencias por Percacci http://people.sissa.it/~percacci/conferencias/genrel/09-fieldeqs.pdf)