He estado mirando algunos Descomposición LU problemas y entiendo que hacer una matriz de Una reducción de la forma A=LU , donde L es triangular inferior de la matriz y U es triangular superior de la matriz, sin embargo estoy teniendo problemas para entender los pasos para llegar a estas matrices. Podría alguien por favor explique el método de Descomposición LU en detalle, preferentemente, excluyendo el concepto de permutación de matrices? ( No hemos hablado acerca de permutación de matrices en clase aún así, nuestro profesor nos prohíbe el uso de ellos para la descomposición).
Respuesta
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$LU$ descomposición en realidad es sólo otra manera de decir la eliminación Gaussiana. Si estás familiarizado con la que, poniendo las piezas juntas es fácil. Aquí es un ejemplo. Vamos $$ A=a^{\left(0\right)}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6\\ 4 & 9 & 2\\ 0 & 5 & 7 \end{array}\right]. $$ Proceder por eliminación Gaussiana. El primer multiplicador es $\ell_{2,1}=4/8=0.5$ (este es el multiplicador que nos permite cancelar $a_{2,1}=4$ usando la primera fila) y el segundo es $\ell_{3,1}=0/8=0$. Llegamos a $$ A^{\left(1\right)}=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6\\ 0 & 8.5 & -1\\ 0 & 5 & 7 \end{array}\right]. $$ Para cancelar $a_{3,2}^{\left(1\right)}=5$, podemos usar el multiplicador $\ell_{3,2}=5/8.5\approx0.5882$ a rendimiento $$ A^{\left(2\right)}\approx\left[\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6\\ 0 & 8.5 & -1\\ 0 & 0 & 7.5882 \end{array}\right] $$ que los rendimientos de la $LU$ descomposición $$ A=LU\approx\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0.5 & 1 & 0\\ 0 & 0.5882 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 8 & 1 & 6\\ 0 & 8.5 & -1\\ 0 & 0 & 7.5882 \end{array}\right]. $$ Tenga en cuenta que $L$ se acaba de hacer de los multiplicadores se utilizó en Gaussiano eliminación con $1$s en la diagonal, mientras que $U$ es sólo $A^{\left(2\right)}$.
