Deje$A$ sea un$2 \times 2$ de matriz real tal que$A^2 - A + (1/2)I = 0$. Demostrar que$A^n \to 0$ como$n \to \infty$.

Question

Pregunta: Vamos a $A$ $2 \times 2$ matriz con entradas real tal que $A^2 - A + (1/2)I = 0$ donde $I$ $2 \times 2$ matriz identidad y $0$ $2 \times 2$ cero de la matriz. Demostrar que $A^n \to 0$$n \to \infty$.

Mi intento: Aquí está mi idea hasta ahora. Considere la posibilidad de $A$ $2 \times 2$ de la matriz en el campo de los números complejos. Ahora, el polinomio

$$g(t) = t^2 - t + \frac{1}{2} $$

factores como

$$g(t) = \left(\frac{1}{2} - \frac{i}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)$$

más de $C$. Esto significa que el polinomio mínimo de a $A$ $C$ es:

$$m(t) = \left(t-(\frac{1}{2} - \frac{i}{2})\right), m(t) = \left(t-(\frac{1}{2} + \frac{i}{2})\right), \ \ \ \text{ or } \ \ \ m(t) = \left(t-(\frac{1}{2} - \frac{i}{2})\right)\left(t-(\frac{1}{2} + \frac{i}{2})\right),$$

y así tenemos a $A = Q D Q^{-1}$, donde

$$D =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}(1 - i)}&0\\ 0&{\frac{1}{2}(1 - i)} \end{array}} \right],$$

$$D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}(1 + i)}&0\\ 0&{\frac{1}{2}(1 + i)} \end{array}} \right],\ \ \ \ text{ o } $$

$$D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}(1 - i)}&0\\ 0&{\frac{1}{2}(1 + i)} \end{array}} \right].$$

Ahora, $A^n = QD^nQ^{-1}$.

Aquí es donde me quedo atascado. $D^n$ no parecen estar convergiendo a $0$ $n$ enfoques infinito. Además, me preocupa que mi estrategia es mala, ya que estamos hablando de una verdadera matriz y estoy usando una mínima polinomio sobre $C$. Es cierto que $A$ debe tener una de las tres formas anteriores, incluso si $A$ se supone que es real?

Gracias por cualquier ayuda/sugerencia que puede ser capaz de proporcionar.

Answer 1

Los valores propios de$A$ (o$D$) satisfacen$|\lambda | = { 1\over \sqrt{2}} <1$. Por lo tanto$|\lambda|^n \to 0$.

Answer 2

Mientras que la respuesta proporcionada por @ cooper.hat es probablemente el que usted desea (ya que termina su prueba de otra forma correcta), me gustaría ofrecer un enfoque diferente.

Si$A^2=A-(1/2)I$, a continuación, multiplicando por$A$ en repetidas ocasiones y el uso de la inducción, se ve que$A^n=a_n A +b_nI$, y además que$A^{n+1}=a_n A^2 +b_n A=(a_n+b_n)A-(1/2)a_nI.$ En cuanto a los primeros$(a_n,b_n)$ pares, nos tener$$(1,0), (1,-1/2), (1/2,-1/2),(0,-1/4)$ $

Asi que $A^{4}=(-1/4)I$. Esto hace que sea fácil de calcular más grandes potencias del$A$ y vea que están tendiendo hacia$0$.

Answer 3

Vamos a hacer unos cálculos. Tenemos:

ps

Esto significa$$A^2=A-{1\over 2}I$ y:

ps

Podemos demostrar por inducción que

$$ \begin{align} A^{4k}&=\left({-1\over 4k}\right)^k\cdot I\\ A^{4k+1}&=\left({-1\over 4k}\right)^k\cdot A\\ A^{4k+2}&=\left({-1\over 4k}\right)^k\cdot\left(A-{1\over 2}I\right)\\ A^{4k+3}&=\left({-1\over 4k}\right)^k\cdot\left({A\over 2}-{1\over 2}I\right) \end {Align} $$

Dejar

ps

Tenemos

ps

Answer 4

Puedes obtener $A^n=A^{n-1}-1/2A^{n-2}=(A^{n-2}-1/2A^{n-3})-1/2A^{n-2}=1/2A^{n-2}-1/2A^{n-3}=-1/4A^{n-4}$. A continuación, la conclusión es obvia por inducción sobre k, mientras que dejar que n = 4k i.

Answer 5

Para la generalización, se asume que $$ A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} $$ Now, for every $2X2$ matrix, this equation is always valid $^2-traza(a)+det(A)I=0$ (prove this by youself, this is very easy). Now you can compare this equation with your original equation, you will get $a+d=-1$ and $ad-bc=\frac {1}{2}$. Assume any values of $a,b,c,d$ satistfying estas ecuaciones que yo había hecho antes.

Asumir los valores de $a=d=-0.5, -b=c=0.5$, entonces la matriz parecerá $$2A= \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix} $$ This matrix satisfy all the given condition.Now you can proceed. You can get very easily that $^N=0$ as $n \to \infty$ . And also you can also use the eigen value logic to prove that $^n=0$ as $n \to \infty$

Eigen Valor de la Lógica también se puede aplicar. Deje que el eigen valor de esta matriz se $e_1$$e_2$. De la ecuación dada es claro que $det(A)=0.5=e_1e_2$ y tanto eigen valores no son reales. Por lo $e_1e_2=e^2=0.5$ donde $|e_1|=|e_2|=e$

Ahora$\alpha=|A^n|=|A|^n=2^{-n}$, y como $n \to \infty$, $\alpha=0$ lo que claramente demuestra que $A^n$ tiene que ser de cero de la matriz debido a que el determinante de la matriz es cero, de lo contrario determinat de que la matriz nunca será cero.