Es $f(x,y) = f(\mathbf{x})$ ¿abuso de la notación?

Question

Una función escalar $f(x,y)$ se suele escribir como $f(\mathbf{x})$ , donde $\mathbf{x} = (x,y)$ pero, por lo que sé, hay una diferencia entre las entradas de la función escalar $(x,y)$ y el vector de entrada $(x,y) = x\imath+y\jmath$ . Como yo lo veo $f(\mathbf{x}) = f((x,y)) = f(x\imath+y\jmath) \neq f(x,y)$ . ¿Me equivoco o existe una simple biyección entre ambos conceptos?

¿Es simplemente una abreviatura de $f': \mathbf{x} \mapsto f''(\imath\cdot\mathbf{x},\jmath\cdot\mathbf{x})$ , s.t. $f'(\mathbf{x})= f''(x,y)$ ?

Si es de relevancia, estoy leyendo sobre los campos escalares, y apareció esta definición:

$\displaystyle\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h, y)-f(x,y)}{h} \overset{\color{green}{?}}{=} \dfrac{f(\mathbf{x}+h\imath)-f(\mathbf{x})}{h} = \dfrac{\partial f}{\partial\imath}(\mathbf{x})$

Aunque se ve bien, tengo curiosidad por saber si es correcto. Sin embargo, no veo cómo $f$ se puede diferenciar con respecto a ambos $\imath$ (un vector) y $x$ (un escalar), a menos que se trate de dos funciones diferentes $f'$ y $f''$ ...

Answer 1

De la página 32 de El libro de Halmos , Teoría de conjuntos ingenua :

Answer 2

$f(\mathbf{x}) = f((x, y))$ se escribe más comúnmente como $f(x, y)$ (donde $\mathbf{x}=(x, y)$ es un vector en, por ejemplo $\mathbb{R}^2$ ). Lo mismo ocurre con las tuplas más largas: $f(x_1, \ldots, x_n)$ . Hablando pedantemente, $f((x, y))$ es la notación (más) correcta. Supongo que la razón para omitir los paréntesis adicionales (además de la convención) es que son simplemente redundantes; eliminarlos no causa ninguna ambigüedad.

Answer 3

Yo no llamaría a esto abuso de la notación ya que sólo estamos utilizando dos notaciones diferentes para la misma cosa.

Básicamente estamos cambiando de un lado a otro entre vectores $\vec x = xi+yj $ y el coordenadas de los vectores $(x,y)$ con respecto a una determinada base $(i,j)$ . (Por lo general, la base es implícitamente la canónica, o puede derivarse del contexto). Como las coordenadas de un vector con respecto a una base dada son únicas, esto no permite ninguna ambigüedad.

Tu ejemplo es efectivamente correcto, y obviamente depende de si defines primero una derivada vectorial o primero la derivada parcial. En cualquier caso, la derivada en la dirección de un vector base es igual a la derivada respecto a la coordenada correspondiente.

Answer 4

$\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Literalmente, tienes razón: hay una distinción significativa entre

1. Una función de valor real $f$ aceptando dos números reales como entrada;

2. Una función de valor real $g$ aceptando un par ordenado de números reales como entrada.

Tal y como dices, las anotaciones literales serían $f(x, y)$ y $g(\Vec{x}) = g\bigl((x, y)\bigr)$ respectivamente. Lenguajes informáticos de tipo fuerte como C++ hacen valer esta distinción.

Incluso en las matemáticas puras, si $f$ es una función de valor real que acepta dos números reales como entrada, se puede formar sin culpa, por ejemplo $$ f\bigl(x, f(y, z)\bigr),\qquad f\bigl(f(x, y), z\bigr). $$ En cambio, si $g$ acepta pares ordenados de reales como entrada y devuelve valores reales, se sentiría, al menos, un poco mal escribir $$ g\bigl(x, g(\Vec{y})\bigr),\qquad g\bigl(g(\Vec{x}), z\bigr). $$ (Nota para mí: En matemáticas, un error no hace una escritura. )

Por suerte, nos salva de una grave ambigüedad la identificación natural de los pares ordenados de números reales (dos cosas reales, $\Reals \times \Reals$ ) con pares ordenados de números reales (una cosa vectorial, $\Reals^{2}$ ). En la práctica, esta identificación nos permite eliminar el segundo paréntesis y escribir $g(x, y)$ en lugar de $g\bigl((x, y)\bigr)$ según la conveniencia.

Answer 5

Un punto de vista que aún no se ha mencionado:

Podemos tomar $f\mathbf{x}$ y $f\langle x,y\rangle$ como las notaciones "correctas", y luego estipulamos que podemos incluir corchetes donde queramos, como desambiguadores. Según estas convenciones, las notaciones $$f(\mathbf{x}),\quad f\langle x,y\rangle$$ son perfectamente aceptables.

Esto también nos da una notación para los elementos "globales"; si $x \in X$ entonces la función correspondiente $1 \rightarrow X$ se puede denotar $\langle x \rangle,$ ya que, por definición, es un elemento de $X^1$ .