Cómo definir un bijection entre el$(0,1)$$(0,1]$?

Question

Cómo definir un bijection entre el$(0,1)$$(0,1]$? O cualquier otro abierto y cerrado intervalos?

Si los intervalos son abiertos como $(-1,2)\text{ and }(-5,4)$ I hacer un barato truco (no sé si eso es cómo se supone que tienes que hacerlo): Puedo hacer una función de $f : (-1, 2)\rightarrow (-5, 4)$ de la forma $f(x)=mx+b$ por \begin{align*} -5 = f(-1) &= m(-1)+b \\ 4 = f(2) &= m(2) + b \end{align*} La solución para $m$ $b$ me parece $m=3\text{ and }b=-2$ entonces $f(x)=3x-2.$

A continuación, muestro que $f$ es un bijection mostrando que es inyectiva y surjective.

Answer 1

Elija una secuencia infinita $(x_n)_{n\geqslant1}$ de los elementos distintos de a $(0,1)$. Deje $X=\{x_n\mid n\geqslant1\}$, por lo tanto $X\subset(0,1)$. Deje $x_0=1$. Definir $f(x_n)=x_{n+1}$ por cada $n\geqslant0$ $f(x)=x$ por cada $x$$(0,1)\setminus X$. A continuación, $f$ se define en $(0,1]$ y el mapa de $f:(0,1]\to(0,1)$ es bijective.

Para resumir, se extrae una copia de $\mathbb N$ $(0,1)$ y utiliza el hecho de que el mapa de $n\mapsto n+1$ es un bijection entre el$\mathbb N\cup\{0\}$$\mathbb N$.

Answer 2

Vamos $A=\{\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\}$,$B=\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\}$. Definir $f:A\rightarrow B$ tal que $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n-1}$.Es fácil mostrar que $f$ es un bijection. A continuación, defina una función $g:(0,1) \rightarrow (0,1]$ tal que

$g(x)=x$ si $x$ no $A$ , de lo contrario $g(x)=f(x)$.

A continuación, $g$ se requiere un bijection de$(0,1)$$(0,1]$.

Comentario: Siempre podemos resolver este tipo de preguntas, seleccionando una contables subconjunto de (por ejemplo) $(0,1)$ y, a continuación, definir un bijection $f$, de modo que la imagen de $f$ es un poco más grande que su dominio y, a continuación, defina una función que es igual a $f$ sobre el recogido contables conjunto y de la identidad de la función fuera de ese conjunto.

Answer 3

Intente algo como la función en la siguiente imagen:

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Si usted sólo tiene que demostrar que tales bijection existe, puede utilizar el Cantor-Bernstein teorema y $(0,1)\subseteq (0,1] \subseteq (0,2)$. Véase también el abierto y el cerrado de los intervalos tienen la misma cardinalidad en PlanetMath.

Answer 4

Vamos a mostrar que ambos conjuntos están en bijection con $S^1\times \mathbb{Z}$.

Considere la posibilidad de $(0,1)$. Esto es en bijection con $\mathbb{R}$ (por ejemplo, el intervalo de a $(-\pi/2, \pi/2)$ y aplicar la función tangente). Podemos hacer un mapa de $\mathbb{R}$ $S^1\times \mathbb{Z}$bijectively utilizando el mapa de $t\rightarrow (e^{2\pi i t},\lfloor t \rfloor)$.

Cualquier conjunto homeomórficos a $(0,1]$ se puede poner en bijection con $S^1$ utilizando el mapa de $t\rightarrow e^{2\pi i t}$. Queda por demostrar que $(0,1]$ es en bijection con countably muchas copias de sí mismo. Para ver esto, observe que el mapa de $x\rightarrow -\frac{1}{x}$ es de $(0,1]$$(-\infty, -1]$, y considerar la posibilidad de la partición

$$\cdots (-4,-3],\ (-3,-2],\ (-2,-1].$$

Esto parece innecesariamente complicado, y creo que se puede solo mapa ambos conjuntos a $\mathbb{R}$ y eludir el círculo cosas, pero así es como me lo imaginé.

Answer 5

Pensé para complementar Hizo la respuesta con esta foto que he esbozado.

La línea azul representa el conjunto de $\color{#0073CF}{(0,1) - \{x_n\}^{\infty}_{n \geq 1}}$.
Los círculos de color naranja, son elementos de la infinita secuencia $\color{#FF4F00}{X = \{x_n\}^{\infty}_{n \geq 1}}$, pero he trazado sólo 4 (yo elegí 4 arbitrariamente) círculos porque es imposible trazar todos los elementos de una infinita secuencia.
Los subíndices (El orden de los puntos) fueron asignados arbitrariamente a cada uno de los puntos de naranja.
Por lo que la representación por encima de $f : (0,1] \rightarrow (0,1) $ puede ser definido de acuerdo con esta fórmula:

$f(\color{#FF4F00}{x_n}) = \color{#FF4F00}{x_{n + 1}} \quad \forall \;n \geq 0$ y
$f(\color{#0073CF}{x}) = \color{#0073CF}{x} \qquad \quad \forall \; \color{#0073CF}{x \in {(0,1) - \{x_n\}^{\infty}_{n \geq 1}}}$.