¿Qué es un punto de límite?

Question

Wikipedia parece describir el tema con extrema complejidad para mí.

En matemáticas, un punto de acumulación de un conjunto $S$ en un espacio topológico $X$ es un punto $x$ (que está en $X$, pero no necesariamente en $S$) que puede ser "aproximado" por puntos de $S$ en el sentido de que cada vecindad de $x$ con respecto a la topología de $X$ también contiene un punto de $S$ que no es $x$ en sí mismo. Nota que $x$ no tiene que ser un elemento de $S.

No entiendo la relación entre $S$ y $X y lo que significa que $x$ sea un punto de acumulación.

Answer 1

La definición que compartiste del artículo de Wikipedia define un punto límite de la manera más abstracta (generalizada), que es importante; pero esta no es la mejor definición para construir una comprensión inicial.

En la mayoría de los casos, existe una distancia que nos permite decir qué tan lejos están los puntos entre sí (decimos que el espacio es métrico). Por ejemplo, en $\mathbb R$, la distancia entre $x$ y $y$ es $|x-y|$.

Ahora, un punto límite de un conjunto $S$ es un punto que tiene puntos de $S$ que no son él mismo, arbitrariamente cerca de él. Un ejemplo no trivial es que $0$ es un punto límite de $[0,1]$, porque puede ser aproximado por puntos de la forma $\frac1n$ para $n\in\mathbb N^*$.

Más formalmente, $x$ es un punto límite de $S$ si para todo $\epsilon>0$, hay un punto $y\in S\setminus\{x\}$ con $d(x,y)<\epsilon$.

Wikipedia utiliza la noción de espacio topológico para ser más general que los espacios métricos, pero esta noción solo es necesaria para matemáticas avanzadas. Para comenzar, basta con saber que cualquier espacio métrico es en particular un espacio topológico, y que en este caso podemos usar la distancia para definir los límites.

Answer 2

Un punto límite de un conjunto $S$ en un espacio métrico $X$ puede estar en $S$ o en $X$.

Entonces tienes este punto, llámalo $x$. Ahora piensa en una distancia arbitraria (usando tu métrica de distancia, $d(x, y)$). Llámala $r$. Si $x$ es un punto límite, entonces significa que para CUALQUIER $r>0$, podrás encontrar algún otro punto $y \in S$ tal que $d(x, y) < r$. Puedes hacer que $r$ sea arbitrariamente pequeña, pero dentro de la distancia $r$, nuestro punto $x$ no estará solo. Su vecindario nunca estará vacío: un vecindario es simplemente el conjunto de puntos que están dentro de la distancia $r$ de $x$.

Esto significa esencialmente que para cualquier vecindario de $x$ que seleccionemos, hay un número infinito de puntos en el vecindario, 'acumulados en torno' a x. Ejemplo:

Considera el conjunto $\mathbb{R}^1$, la recta real. Este es nuestro espacio métrico con la Norma Euclidiana habitual para la distancia. Ahora considera: $$ S = \{1 + \frac1n \mid n \in \mathbb{N}\}$$ Este conjunto $S$ tiene un punto límite en $1 \in \mathbb{R}^1$ (y solo en 1) porque para cualquier $r>0$, siempre podemos encontrar algún $n \in \mathbb{N}$ tal que $1+ \frac1n < 1+r$, de manera que haya algún $s \in S$ con una distancia a $1$ que sea menor que $r$.

Intuición: entonces puedes ampliar esta noción: en $\mathbb{R}^2$, pensamos en $r$ como un radio, y el vecindario es un círculo si dibujas el conjunto. En $\mathbb{R}^3$, $r$ se convierte en una esfera (bola), etc...

Answer 3

Un punto $a$ se dice que es un punto límite de un conjunto $S$ si hay puntos en $S$ que están arbitrariamente cerca de $a$ pero nunca se igualan a $a$. Por ejemplo, $1$ es un punto límite de los intervalos $[0,1]$ y $[0,2]$ porque $\{0.9,0.99,0.999,0.999 \dots\}$ es una secuencia de puntos en esos intervalos que se acerca a $1$ pero nunca se iguala a $1$.

Origen: Límites, Continuidad y Derivabilidad - David Levermore